每天一道算法题3 求子数组的最大和

原文：http://www.cnblogs.com/mingzi/archive/2009/08/04/1538444.html

题目：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。
分析：本题最初为2005年浙江大学计算机系的考研题的最后一道程序设计题，在2006年里包括google在内的很多知名公司都把本题当作面试题。由于本题在网络中广为流传，本题也顺利成为2006年程序员面试题中经典中的经典。
如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。不过非常遗憾的是，由于长度为n的数组有O(n2)个子数组；而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)。因此这种思路的时间是O(n3)。
很容易理解，当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。基于这样的思路，我们可以写出如下代码。
参考代码：
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// Find the greatest sum of all sub-arrays

// Return value: if the input is valid, return true, otherwise return false

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bool FindGreatestSumOfSubArray

(

int *pData, // an array

unsigned int nLength, // the length of array

int &nGreatestSum // the greatest sum of all sub-arrays

)

{

// if the input is invalid, return false

if((pData == NULL) || (nLength == 0))

return false;

int nCurSum = nGreatestSum = 0;

for(unsigned int i = 0; i < nLength; ++i)

{

nCurSum += pData[i];

// if the current sum is negative, discard it

if(nCurSum < 0)

nCurSum = 0;

// if a greater sum is found, update the greatest sum

if(nCurSum > nGreatestSum)

nGreatestSum = nCurSum;
}

// if all data are negative, find the greatest element in the array

if(nGreatestSum == 0)

{

nGreatestSum = pData[0];

for(unsigned int i = 1; i < nLength; ++i)

{

if(pData[i] > nGreatestSum)

nGreatestSum = pData[i];

}

}

return true;

}

讨论：上述代码中有两点值得和大家讨论一下：
· 函数的返回值不是子数组和的最大值，而是一个判断输入是否有效的标志。如果函数返回值的是子数组和的最大值，那么当输入一个空指针是应该返回什么呢？返回0？那这个函数的用户怎么区分输入无效和子数组和的最大值刚好是0这两中情况呢？基于这个考虑，本人认为把子数组和的最大值以引用的方式放到参数列表中，同时让函数返回一个函数是否正常执行的标志。
· 输入有一类特殊情况需要特殊处理。当输入数组中所有整数都是负数时，子数组和的最大值就是数组中的最大元素。
《编程珠机》第八章，8.4扫描算法。
采用类似分治算法的道理：前i个元素中，最大综合子数组要么在i-1个元素中(maxsofar)，要么截止到位置i(maxendinghere)。