初学--求解模线性方程组(中国余数定理)。

中国剩余定理，孙子高富帅。

中国剩余定理到求解运用到了扩展欧几里得算法。

求解模线性方程组(中国余数定理)
a=B[1](mod W[1])
a=B[2](mod W[2])
........
a=B
(mod W
)

其中W,B已知，W[i]>0且W[i]与W[j]互质, 求a

设m1,m2,…mk是两两互素的正数，则对任意的整数b1,b2,…bk,同余方程组
x1 = b1 mod m1
x2 = b2 mod m2
…
xk = bk mod mk
其解为：

X = (M1’*M1*b1)+(M2’*M2*b2)+…+(Mk’*Mk*bk) mod m;
其中
m = m1*m2*…*mk;
Mi = m / mi;
Mi’是Mi的逆元

注意：这个求解的方法到前提是，w[i],w[j]是互质的。

具体到代码贴一下：（还是比较好理解到）

int china(int b[],int m[],int len)
{
int i,d,x,y,mi,sum=1,hxl=0;//好多变量
for(i=1;i<=len;i++)
sum=sum*m[i];//sum=m1*m2*m3*.....mn
for(i=1;i<=len;i++)
{
mi=sum/m[i];//Mi=m/mi
d=Ex_gcd(m[i],mi,x,y);//y是mi的逆元，为什么是y呢，我感到很困惑。
hxl=(hxl+mi*y*b[i])%sum;//..
}
if(hxl>0)
return hxl;
else
return hxl+sum;
}

现在的问题是，当w[i] ,w[j] 不互质的时候，怎么去解决。这个也是我们要解决到问题了。

做到题目里，很少有全部互质到，那就很简单了，直接套模板了，这个你懂了，也是模板。

如何解决？？？？？？

合并操作.

先贴一段别人到思路：

假设C ≡ A1 (mod B1)，C ≡ A2 (mod B2)。令C = A1 + X1B，那么X1B1 ≡ A2 − A1 (mod B2)。

用扩展欧几里德算法求出X1，也就求出C。令B = lcm(B1, B2)，

那么上面两条方程就可以被C’ ≡ C (mod B)代替。迭代直到只剩下一条方程。

有点跳跃性：

C≡A1 (mod B1) ==>C=B1*k1 + A1; //这个容易理解的

C≡A2 (mod B2) ==>C=B2*k2 + A2;

合并一下 B1*k1 + A1 = B2*k2 + A2 ==> B1*k1-B2*k2 = A2-A1;

对比一下扩展欧几里得到式子 ax+by=c ；

则a=B1 ; b= -B2; c=A2-A1;

根据扩展欧几里得可以求的x0,y0;

gcd(B1,B2) = d;

c=A2-A1;

t=B2/d; //扩展欧几里得里也有这个 b=b/d;

x到最小非负解为 x=(x*c/d %t +t)%t; //需要理解一下。可以分两步 x=x*c/d; x=(x%t +t )%t;

那此时就能求出C 了 C=B1*K1 + A1 ==> C=B1*x + A1; //就是带入方程，求出C { C’ ≡ C (mod B) }

B=(B1*B2)/d; //最小公倍数到求法 b=(b1*b2)/gcd(b1,b2);

具体到看一看代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
__int64 x, y, t;
__int64 egcd(__int64 a, __int64 b)
{
if (b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
else
{
__int64 e = egcd(b, a % b);
t = x; x = y; y = t - a / b * y;
return e;
}
}
int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
__int64 m1, m2, r1, r2, d, c, t;
bool sb;
int n;
while (cin >> n)
{
sb = 0;
cin >> m1 >> r1;
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
{
cin >> m2 >> r2;
if (sb) continue;//一旦有无解情况出现，自然就不用在计算了
d = egcd(m1, m2);//Ex_gcd(a,b);
c = r2 - r1;//ax+by=(c2-c1)   c=c2-c1;//c 是余数
if (c % d)//是否有解
{
sb = 1;
continue;
}
t = m2 / d;//b= b/d;
x = (c / d * x % t + t) % t;//x=(x0*c/d % b+b)%b;
//求最小到x
r1 = m1 * x + r1;//C = A1 + X1B1 ==> A1=C;
m1 = m1 * m2 / d;//最小公倍数赋值给m1  C’ ≡ C (mod B)
}
if (sb)
cout << -1 << endl;
else
cout << r1 << endl;
}

}