uva 11481 Arrange the Numbers

链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2476

大意：1～n的排列中前m个数中恰好有k个数在原位上的个数

解法：首先是从m个数中取出k个数：C(m, k) ；其次，为了保证前m个数中剩下的m-k个数不在原位上，考虑剩下n-k个数的错排；接着是后面n-m个数中有1个在原位上，剩余n-k-1再错排C(n-m，1)*f[n-k-1]，这样依次下去……结果便为：C(m,k)*(f[n-k]+f[n-k-1]*C(n-m, 1) + ……+ f[1]*C(n-m, n-m))，当然还要预处理组合数，因为有取模，所以不能用递推式C(n,m) = C(n,m-1)*(n+m-1)/m，应当采用C(n,m) = C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；错排递推式为f
=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])；注意最后如果m=k，则需要加上原排列1,2,3……n（答案再加1）

代码如下：

/*
先这么考虑，剩下的n-k个数都错排，然后后面的n-m个数中有1个数在原位上，其余的n-k-1个数依旧错排
那么答案边是C(m,k)*(f[n-k]+f[n-k-1]*C(n-m, 1) + ……+ f[1]*C(n-m, n-m)) ，其中f为错排函数
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int p = 1000000007;
long long f[1001], c[1001][1001];
int main()
{
f[1] = 0; f[2] = 1;
for (int i=3; i<=1000; i++) f[i] = (i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%p;
c[0][0] = 1;
for (int i=1; i<=1000; i++)
{
c[i][0] = 1;
for (int j=1; j<=i; j++) c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1])%p;
}
int t; scanf("%d", &t);
for (int kase=1; kase<=t; kase++)
{
int n, m, k; scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
long long ans = 0;
for (int i=0; i<=n-m; i++)
ans = (ans + f[n-k-i]*c[n-m][i])%p;
ans = ans*c[m][k]%p;
if (m == k) ans = (ans+1)%p;    //此时原排列也要加上去
printf("Case %d: %lld\n", kase, ans);
}
return 0;
}

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