二叉树的顺序存储与基本操作

在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有

个结点；深度为k的二叉树至多有

个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为

，度为2的结点数为

，则

。

树和二叉树的三个主要差别：

树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；
树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。

<完全二叉树和满二叉树>

满二叉树：一棵深度为k，且有

个节点成为满二叉树
完全二叉树：深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树

图论中的定义

二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。

二叉树(Binary Tree)的类型

二叉树是一个有根树，并且每个节点最多有2个子节点。非空的二元树，若树叶总数为 n0，分支度为2的总数为 n2，则 n0 = n2 + 1。



一棵深度为k，且有

个节点的二叉树，称为满二叉树（Full Binary Tree）。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其馀层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树（Complete
Binary Tree）。具有n个节点的完全二叉树的深度为

。深度为k的完全二叉树，至少有

个节点，至多有

个节点。

	Complete Binary Tree	Full Binary Tree
总节点k	< k <	k =
树高h	h =	h =

存储二叉树的方法

在编程语言中能用多种方法来构造二叉树。

顺序存储表示

二叉树可以用数组或线性表来存储，而且如果这是完全二叉树，这种方法不会浪费空间。用这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i，它的子结点能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假设根节点的索引为0）。这种方法更有利于紧凑存储和更好的访问的局部性，特别是在前序遍历中。然而，它需要连续的存储空间，这样在存储高度为h的n个结点组成的一般普通树时将会浪费很多空间。一种最极坏的情况下如果深度为h的二叉树每个节点只有右孩子需要占用2的h次幂减1，而实际却只有h个结点，空间的浪费太大，这是顺序存储结构的一大缺点。

存储结构

/* 二叉树的顺序存储表示 */
 #define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大节点数 */
 typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根节点 */
 
 typedef struct
 {
   int level,order; /* 节点的层，本层序号(按满二叉树计算) */
 }position;

基本操作

/* 二叉树的顺序存储的基本操作(23个)*/
 #define ClearBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */
 #define DestroyBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */

 void InitBiTree(SqBiTree T) 
 { /* 构造空二叉树T。T是数组名 */
   int i;
   for(i=0;i<MAX_TREE_SIZE;i++)
     T[i]=Nil; /* 初值为空(Nil在主程中定义) */
 }

 void CreateBiTree(SqBiTree T)
 { /* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */
   int i=0;
 #if CHAR /* 结点类型为字符 */
   int l;
   char s[MAX_TREE_SIZE];
   InitBiTree(T); /* 构造空二叉树T */
   printf("请按层序输入结点的值(字符)，空格表示空结点，结点数≦%d:\n",MAX_TREE_SIZE);
   gets(s); /* 输入字符串 */
   l=strlen(s); /* 求字符串的长度 */
   for(;i<l;i++) /* 将字符串赋值给T */
     T[i]=s[i];
 #else /* 结点类型为整型 */
   InitBiTree(T); /* 构造空二叉树T */
   printf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输999结束。结点数≦%d:\n",MAX_TREE_SIZE);
   while(1)
   {
     scanf("%d",&T[i]);
     if(T[i]==999)
     {
       T[i]=Nil;
       break;
     }
     i++;
   }
 #endif
   for(i=1;i<MAX_TREE_SIZE;i++)
     if(T[(i+1)/2-1]==Nil&&T[i]!=Nil) /* 此非根结点(不空)无双亲 */
     {
       printf("出现无双亲的非根结点"form"\n",T[i]);
       exit(ERROR);
     }
 }

 Status BiTreeEmpty(SqBiTree T)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：若T为空二叉树，则返回TRUE，否则FALSE */
   if(T[0]==Nil) /* 根结点为空，则树空 */
     return TRUE;
   else
     return FALSE;
 }

 int BiTreeDepth(SqBiTree T)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：返回T的深度 */
   int i,j=-1;
   for(i=MAX_TREE_SIZE-1;i>=0;i--) /* 找到最后一个结点 */
     if(T[i]!=Nil)
       break;
   i++; /* 为了便于计算 */
   do
     j++;
   while(i>=pow(2,j));   /*pow是原型为double pow( double x, double y ),计算x的y次方,h = log<sub>2</sub>k + 1来计算二叉树的深度*/
   return j;
 }

 Status Root(SqBiTree T,TElemType *e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在。操作结果：当T不空，用e返回T的根，返回OK；否则返回ERROR，e无定义 */
   if(BiTreeEmpty(T)) /* T空 */
     return ERROR;
   else
   {
     *e=T[0];
     return OK;
   }
 }

 TElemType Value(SqBiTree T,position e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点(的位置) */
   /* 操作结果：返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */
   return T[(int)pow(2,e.level-1)+e.order-2];
 }

 Status Assign(SqBiTree T,position e,TElemType value)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点(的位置) */
   /* 操作结果：给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */
   int i=(int)pow(2,e.level-1)+e.order-2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */
   if(value!=Nil&&T[(i+1)/2-1]==Nil) /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */
     return ERROR;
   else if(value==Nil&&(T[i*2+1]!=Nil||T[i*2+2]!=Nil)) /*  给双亲赋空值但有叶子(不空) */
     return ERROR;
   T[i]=value;
   return OK;
 }

 TElemType Parent(SqBiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：若e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则返回＂空＂ */
   int i;
   if(T[0]==Nil) /* 空树 */
     return Nil;
   for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
     if(T[i]==e) /* 找到e */
       return T[(i+1)/2-1];
   return Nil; /* 没找到e */
 }

 TElemType LeftChild(SqBiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点。操作结果：返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回"空" */
   int i;
   if(T[0]==Nil) /* 空树 */
     return Nil;
   for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
     if(T[i]==e) /* 找到e */
       return T[i*2+1];
   return Nil; /* 没找到e */
 }

 TElemType RightChild(SqBiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点。操作结果：返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回"空" */
   int i;
   if(T[0]==Nil) /* 空树 */
     return Nil;
   for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
     if(T[i]==e) /* 找到e */
       return T[i*2+2];
   return Nil; /* 没找到e */
 }

 TElemType LeftSibling(SqBiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟，则返回＂空＂ */
   int i;
   if(T[0]==Nil) /* 空树 */
     return Nil;
   for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
     if(T[i]==e&&i%2==0) /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
       return T[i-1];
   return Nil; /* 没找到e */
 }

 TElemType RightSibling(SqBiTree T,TElemType e)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，e是T中某个结点 */
   /* 操作结果：返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟，则返回＂空＂ */
   int i;
   if(T[0]==Nil) /* 空树 */
     return Nil;
   for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
     if(T[i]==e&&i%2) /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
       return T[i+1];
   return Nil; /* 没找到e */
 }

 void Move(SqBiTree q,int j,SqBiTree T,int i) /* InsertChild()用到。加 */
 { /* 把从q的j结点开始的子树移为从T的i结点开始的子树 */
   if(q[2*j+1]!=Nil) /* q的左子树不空 */
     Move(q,(2*j+1),T,(2*i+1)); /* 把q的j结点的左子树移为T的i结点的左子树 */
   if(q[2*j+2]!=Nil) /* q的右子树不空 */
     Move(q,(2*j+2),T,(2*i+2)); /* 把q的j结点的右子树移为T的i结点的右子树 */
   T[i]=q[j]; /* 把q的j结点移为T的i结点 */
   q[j]=Nil; /* 把q的j结点置空 */
 }

 void InsertChild(SqBiTree T,TElemType p,int LR,SqBiTree c)
 { /* 初始条件：二叉树T存在，p是T中某个结点的值，LR为0或1，非空二叉树c与T不相交且右子树为空 */
   /* 操作结果: 根据LR为0或1,插入c为T中p结点的左或右子树。p结点的原有左或右子树则成为c的右子树 */
   int j,k,i=0;
   for(j=0;j<(int)pow(2,BiTreeDepth(T))-1;j++) /* 查找p的序号 */
     if(T[j]==p) /* j为p的序号 */
       break;
   k=2*j+1+LR; /* k为p的左或右孩子的序号 */
   if(T[k]!=Nil) /* p原来的左或右孩子不空 */
     Move(T,k,T,2*k+2); /* 把从T的k结点开始的子树移为从k结点的右子树开始的子树 */
   Move(c,i,T,k); /* 把从c的i结点开始的子树移为从T的k结点开始的子树 */
 }