POJ 1091 跳蚤（n元不定方程有解的判定+容斥原理）

假设卡片上的标号为A1,A2,..An,跳蚤跳对应号的次数分别为X 1,X 2,...X n,跳M个单位的次数为X n+1,有以下方程成立：

A1*X1+A2*X2+......+An* Xn+M*X n+1 =1。

要使以上方程有解，(A1,A2,A3,..,M)=1

先对M 进行质因数分解。

设p=(A1,A2,....An,M)

然后排除p不等于1的情况即可。

对于任意一个小于等于m的数x，其倍数的出现次数为(m/x),对于n张纸牌，有(m/x)^n

然后枚举m的质因子b1,b2,..bt

根据容斥原理，先sum+=(m/b1)^n+(m/b2)^n+....+(m/bt)^n

然后减去重叠的部分sum-=(m/(b1*b2))^n+(m/(b1*b3))^n+....+(m/(b t-1*bt))^n

依次递推下去。

最后sum=m^n-sum即可。

代码参考HIT《数论及应用》

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=64;
int bo[maxn],t;
void divide(int m)
{
t=0;
for(int i=2;i*i<=m;i++)
if(m%i==0){
bo[++t]=i;
while(m%i==0) m/=i;
}
if(m!=1) bo[++t]=m;
}
LL quick_multi(LL a,LL b)
{
LL ans=1;
while(b)
{
ans*=a;
b--;
}
return ans;
}
int n,m,a[maxn];
LL ans,temp;
void dfs(int b,int ct,int c)
{
if(ct==c)
{
int x=m;
for(int i=1;i<=c;i++)
x/=a[i];
temp+=quick_multi(x,n);
return ;
}
for(int i=b+1;i<=t;i++){
a[ct+1]=bo[i];
dfs(i,ct+1,c);
}
}

int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
divide(m);
ans=0;
for(int i=1;i<=t;i++){
temp=0;
dfs(0,0,i);
if(i&1)
ans+=temp;
else
ans-=temp;
}
ans=quick_multi(m,n)-ans;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}