关于dijkstra的一点总结

最近的一段时间都在刷关于dijkstra的东西 ，在参看了白书等参考之后 ，我个人做了点小总结。首先要明确的是dijkstra的最主要用途是求单源最短路径的（权值非负）。所谓单源最短路径就是固定一个顶点为源点，然后求源点到其他点的最短路径。（需要特别注意的是 源点不一定是图中标明的起点，有时候出题者经常会反着来，这时候就需要用反的dijkstra来做，即将终点当源点向多个起点来辐射）

算法的思想：从顶点v0到vk的最短路径，要么是从v0到vk的直接路径，要么就是从v0经过某个顶点vi再到vk的路径。

具体实现方法：

1、设置两个顶点的集合T和S S中存放已经找到的最短路径的点，初始时只有一个顶点，既源点v0。T中存放的是还未找到最短路径的点。

2、在T中选取当前长度最短的一条路径（v0……vk），从而将vk加入S中，并修改源点v0到T中各个顶点的最短路径长度；重复这一步骤，直到所有的顶点都加入S中，算法结束。

算法实现：

一般有几个常用的数组。

dist[i]：表示当前找到的从源点v0出发到vi的最短路径的长度。初始 时，dist[i]为edge[vo][i]，既邻接矩阵的第v0行。

s
:s[i]为0表示顶点vi还未加入集合s中，为1表示已加入。初始时，s[v0]为1，其他的都为0.

path
：path[ i ]表示v0到vi的最短路径上顶点vi的前一个顶点序号。用来记录最短路径的。

递推公式：

初始: dist[k]=edge[v0][k],v0是源点

递推：u=min{dist[i]},vt∈T

  u 表示当前T集合中dist数组的元素最小的顶点的序号，此后u加入集合s中。

dist[k]=min{dist[u]+edge[u][k]},vk∈T(只修改T中顶点的dist值) 

下面是代码模板：

memset(s,false,sizeof(s));
for(i=0;i<n-1;i++){
int min=inf,u=v0;
for(j=0;j<n;j++){
if(!s[j]&&dist[j]<min){
u=j;
min=dist[j];
}
}
s[u]=true;
for(k=0;k<n;k++){
if(!s[k]&&edge[u][k]<inf&&dist[u]+edge[u][k]<dist[k]){
dist[k]=dist[u]+edge[u][k];
path[k]=u;
}
}
}


当然上面的算法并不是最好的，如果面对数据过大的时候，这个dijkstra就用不了，所以必须用优先队列改进的dijkstra。关于这一点我不是太清楚 ，只能照着白书 的模板敲了。
下面是代码：

struct cmp{
bool operator() (const int a,const int b){
return a>b;
}
};

priority_queue<int,vector<int>,cmp> q;

bool done[maxn];
for(int i=0;i<n;i++)
d[i]=(i==0?0:inf);
memset(done,0,sizeof(done));
q.push(make_pair(d[0],0));
while(!q.empty()){
pii u=q.top();
q.pop();
int x=u.second;
if(done[x]) continue;
done[x]=true;
for(int e=first[x];e!=-1;e=next[e])
if(d[v[e]]>d[x]+w[e]){
d[v[e]]=d[x]+w[e];
q.push(make_pair(d[v[e]],v[e]));
}
}