矩阵乘法的四种理解方式

先介绍向量的两种运算，一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积，又叫作点积，结果是一个数；

一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的克罗内克积，结果是一个矩阵，

假设

和b分别是一个行向量和一个列向量，那么内积、外积分别记作

和

。





注意：外积在不同的地方定义方式不太一样，这里不详细讨论

定义了内积和外积以后，我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的，因此对矩阵不同角度的抽象，将矩阵乘法转换为向量乘法，可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A（假设行和列的大小都是2），我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量，


，又可以看作是由两个列向量组成的行量

,我们

表示列向量，

表示行向量

这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。

一、 A是由行向量组成的列向量，B是由列向量组成的行向量




此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式，按照外积定义，我们有



注意到这里面每一个

都是一个向量，因此

就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此，我们可以看到，矩阵乘积是两个向量的外积，并且外积矩阵中的每一个元素是一个内积。这种方式是最直接的理解方式。

二、 A是由列向量组成的行向量，B也是由列向量组成的行向量



令C = AB， 我们考虑C的每一个列向量:



同理：



因此，矩阵C的每一个列向量，是A的列向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是

的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

三、 A是由行向量组成的列向量，B也是由行向量组成的列向量



类似于上面的情况，不过我们现在考虑C的每一个行向量:



同理：



因此，矩阵C的每一个行向量，是B的行向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是

的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

四、 A是由列向量组成的行向量，B也是由行向量组成的列向量



此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有：



注意到

是一个外积形式，因为

是一个列向量，

是一个行向量，因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

根据以上分析，我们可以将第一种和第四种方式放到一起，第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量，将B抽象为行向量，从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式，而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素

。

第四种理解方式先将A抽象为行向量，将B抽象为列向量，从而将矩阵乘法变为了一种内积形式，内积的各个组成部分

又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素

，而是将C看作是多个矩阵相加组成的，每次计算得到一个加数矩阵。

第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量，行向量的每个组成是一个列向量，A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量，并且该列向量存在于A的列向量空间内，A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。

如果想对一个矩阵进行行变换，可以左乘一个矩阵；相应的如果想对矩阵进行列变换，可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。

最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么，C是一个矩阵，是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量，每个列向量是A的列空间的线性组合，又是行向量组成的列向量，每个行向量是B的行空间的线性组合；它是一个内积，内积的每个成分是一个外积，同时它又是一个外积，外积矩阵的每一个元素是一个内积。

参考资料：

[1] http://videolectures.net/mit1806s05_strang_lec06/

[2] Introduction to Linear Algebra; Gilbert Strang