最长回文子串（Longest Palindromic Substring）

最长回文子串（Longest Palindromic Substring）

一个「对称」的序列，就可称为回文序列，譬如：aba，abba 等。详细介绍参看： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E6%96%87%E6%95%B0

最长回文子串问题是要求在给出的一个序列中，找到最长的回文字串。譬如：一个序列 cabccba，它的最长回文子串是 abccba。

暴力

暴力穷举可以解决问题。三个循环穷举所有可能的序列。

?
但算法的复杂度是 O(n^3)。

一个更好的思路

在面试的是被问到这个题目，我拙计，下面是当天聊天中给出的思路：


上面的做法不稳定，因为其中的回溯过程（加粗部分）。

Manacher 线性算法

利用一个辅助数组 arr
，其中 arr[i] 记录的是以 str[i] 为中心的回文子串长度。当计算 arr[i] 的时候，arr[0...i-1] 是已知并且可被利用的。Manacher 核心在于：用 mx 记录之前计算的最长的回文子串长度所能到达的最后边界，用 id 记录其对应的中心，可以利用回文子串中的回文子串信息。



假设 id 与 mx 已经得出，当计算以 str[i] 为中心回文子串长度时，因为已经可以确定绿色部分已经是回文子串了，所以可以利用以 str[j] 为中心回文子串长度即 arr[j]。在上图的情况下，所以可以从箭头所指出开始比较。还有一种情况：





这种情况下，不能直接利用以 str[j] 为中心回文子串长度即 arr[j]，因为以 id 为中心回文子串长度只计算到了绿色箭头所指之处，所以能力利用的信息是 mx-i，比较 mx-i 之后的字符。

下面个举一例：

0123456789

ceabadabac

1112141?

当计算「？」即 arr[7] 的时候，id = 5,mx = 8，所以 arr[7] 可以给一个初值为 arr[2*id-7=3]=2，并且比较 str[7-2] 与 str[7+2] 是否相等......

0123456789

cdabadabac

1113141?

当计算「？」即 arr[7] 的时候，id = 5,mx = 8，此时 arr[7] 不能赋 arr[2*id-7=3]=3 的初值，因为以 id 为中心的回文子串只为图中蓝色部分：

。所以，arr[7] 只能赋值为 mx-i = 8-7 = 1，继续比较以更新 arr[7]。

Manacher 线性算法只要在纸上演算一遍就明白了。

从上面的描述，Manacher 算法只扫描了一遍，在具体计算中，借用了历史数据以更快的速度算出当下的结果，从而避免重复的比较，因此是线性的？！（笔者还无法证明）

下面是 Python 的算法描述：

?
#a#b#c#d#c#b#a#

[1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1]

一个小 trick 是在原串中穿插字符「#」，可以将统一奇数回文串和偶数回文串的情况。

捣乱 2013-06-30
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