【谷歌面试题】给出一个数组A，找出一对 (i, j)使得A[i] <= A[j] (i < j)并且j-i最大

题目：给出一个数组A，找出一对 (i, j)使得A[i] <= A[j] (i <= j)并且j-i最大 ，若有多个这样的位置对，返回i最小的那一对。

最直接的想法就是对于每一个 i 从数组最尾端开始向前找到第一个大于等于 A[i] 的位置 j ，时间复杂度O(n^2)。

pair<int, int> find(const vector<int> &A)
{
int n = A.size();
if(n == 0)
throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

int target_i = 0, target_j = 0;
int max_len = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
int j;
for(j = n-1; j >= i; --j)
if(A[j] >= A[i])
break;
if(j-i+1 > max_len)
{
target_i = i;
target_j = j;
max_len = j-i+1;
}
}

return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

我们对上述算法稍作优化。当i=0时，我们假设找到的大于A[i]的最右位置是j0，那么对于i=1时，我们根本就不需要考虑小于j0的位置，因为它们的区间长度都小于j0+1，不可能成为最优解。

pair<int, int> find(const vector<int> &A)
{
int n = A.size();
if(n == 0)
throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

int target_i = 0, target_j = 0;
int max_len = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
int j;
for(j = n-1; j > target_j; --j) // 此处只需检查到target_j
if(A[j] >= A[i])
break;
if(j-i+1 > max_len)
{
target_i = i;
target_j = j;
max_len = j-i+1;
}
}

return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

但时间复杂度仍然是O(n^2)的。我们可以继续接着上面的思路优化。其实对于位置 i 求最后一个大于等于它的位置，不需要每次都从数组尾部向前找，我们可以通过改进这个地方将时间复杂度变为O(n)。

过程是这样的，对于 i ，我们先找到 i 及其右端的最大元素的位置 j ，检查是否比当前记录的最优解更优，更新。然后考虑 j+1及其右端的最大元素位置是否大于等于A[i]，若是，令 j 等于该位置，重复如上过程，若否，那么从位置i+1重新开始，但j仍然从当前位置考虑即可，原因上面已说明。这样时间复杂度就成O(n)的了。

具体请参考代码

pair<int, int> find(const vector<int> &A)
{
int n = A.size();
if(n == 0)
throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

vector<int> right_max_pos(n);
right_max_pos[n-1] = n-1;
for(int i = n-2; i >= 0; --i)
{
if(A[i] > A[right_max_pos[i+1]])
right_max_pos[i] = i;
else
right_max_pos[i] = right_max_pos[i+1];
}

int max_len = 0;
int target_i, target_j;
int i = 0, j = 0;
while(j < n)
{
j = right_max_pos[j];
if(A[j] >= A[i])
{
if(j-i+1 > max_len)
{
target_i = i;
target_j = j;
max_len = j-i+1;
}
++j;
}
else
++i;
}

return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

这里简单说一下测试方法，测试我们可以先测试最简单的实现方案，这里的第一种实现，因为这种实现简单，出现错误的可能性小，测试起来简单。测试时可以不考虑时间复杂度，只考虑正确性。然后我们使用此经过测试过的算法的输入输出去测试其他算法（对比结果）。