关于dijkstra的贪心思想的正确性的证明

       dijkstra看似简单，其实却很有意思。

        现在发现对于一个问题，如果决心搞懂，总是会有一个难到易（初步搞懂问题），易到难（开始深入），难到易（已经深入理解）。

        我在看dijkstra的时候一开始有点迷茫，因为觉得贪心怎么会在全局上取得最优呢，结果证明是对的，我的解释就是dijkstra算法中已经把每个点都遍历过，能取最短的都已经取了，于是在想通了后觉得简单，但昨天晚上突然想找出贪心的依据，于是看《算法导论》，昨晚从十一点半看到12点10分，觉得差不多看懂了，然后睡了一觉后发现又不懂了，原本懂了的几个地方竟然完全不懂了。于是又从今天早上研究到11点，虽不能说有多透彻，但可以说差不多懂了，我在网上也看了很多关于dijkstra的证明，基本是数学归纳法，说起书写归纳法，我不得不说他是我最喜欢的数学证明方法，虽然我现在在高中阶段的课本上基本接触不到数学归纳法，但我自学《高等数学》后，特别是关于行列式的性质的数学归纳法证明，堪称断臂维纳斯般的艺术，关于数学归纳法的证明太多了，我就不写了，就写下看了《算法导论》后的通俗方法。

         一个图中的点分为两个集合，一个是V：所有点的集合；另一个是S：表明已经找到最短路径的点，即一个点找到了最短路就加入S，而我们要证的就是加入S的点的最短路都已确定。设d表示u点到源点的当前距离，z[u]表示u到源点的最短路。

        和证明整数的唯一分解定理有些类似，[u]假设一个点u是加入S集合中的第一个不满足d[u]=z[u]的点，如果u点到源点s没有路，那么d=z[u]=无穷，就不满足z[u]=d[u]这个条件了，所以可以得出s到u一定有条最短路。[u]我们假设y点是V-S中的一点，y-u不一定存在，也就是说y有可能就是u点，然后假设x是y的紧邻前驱，但s-x也不一定存在，s点有可能为x点，因为x已经加入S了，x又是y的紧邻前驱，所以在松弛时已经计算出d[y]=z[y]，（因为图中的s-u是一条最短路了，所以此路上的s-y也是s到y的最短路，否则s-u就不是s到u的最短路了）（根据收敛性质：（此中的字母与本文无关，只是描述收敛性质用到）s-u-v是图G某u点,v点属于V的最短路径，而且在松弛边（u，v）之前的任何时间d[u]=z[u],则在操作后总有d[v]=z[v]），到了这里我们就得出了两个不等式，1.在这条路径中看得出d[u]>=z[u]>=z[y]=d[y]，2.在选择u点时，只有d[u]<=d[y]时，才会选到u点加入S，从而得到d[u]=d[y]=z[u]=z[y]。

       从中午开始写，断断续续的写到现在才完工（下午还学了会儿相对论，简直是颠覆我的世界观，我不得不说还是数学，还有算法靠谱），虽然说高中阶段的竞赛或者以后的ACM都不用知道dijkstra的原理，但我始终觉得要学一门知识就要做到知其然并知其所以然，搞懂原理，以后也许才会创造出自己的算法。

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