0014算法笔记——【动态规划】凸多边形最优三角剖分
2013-03-05 20:10
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1、问题相关定义:
(1)凸多边形的三角剖分:将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。
(2)最优剖分:给定凸多边形P,以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分,使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
凸多边形三角剖分如下图所示:
2、最优子结构性质:
若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n,则T的权为三个部分权之和:三角形V0VkVn的权,多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示:
可以断言,由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分,将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此,凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。
3、递推关系:
设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值,即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权,子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权,子多边形{Vk,Vk+1……Vj}的权之和。
因此,可得递推关系式:
凸(n+1)边形P的最优权值为t[1]
。
程序清单如下:
程序输入如下所示:
运行结果如图:
(1)凸多边形的三角剖分:将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。
(2)最优剖分:给定凸多边形P,以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分,使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
凸多边形三角剖分如下图所示:
2、最优子结构性质:
若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n,则T的权为三个部分权之和:三角形V0VkVn的权,多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示:
可以断言,由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分,将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此,凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。
3、递推关系:
设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值,即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权,子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权,子多边形{Vk,Vk+1……Vj}的权之和。
因此,可得递推关系式:
凸(n+1)边形P的最优权值为t[1]
。
程序清单如下:
//3d5 凸多边形最优三角剖分 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; const int N = 7;//凸多边形边数+1 int weight[] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权 int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s); void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解 int Weight(int a,int b,int c);//权函数 int main() { int **s = new int * ; int **t = new int * ; for(int i=0;i<N;i++) { s[i] = new int ; t[i] = new int ; } cout<<"此多边形的最优三角剖分值为:"<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl; cout<<"最优三角剖分结构为:"<<endl; Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置 return 0; } int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s) { for(int i=1; i<=n; i++) { t[i][i] = 0; } for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长(子问题规模) { for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界 { int j = i+r-1;//计算前边界为r,链长为r的链的后边界 t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i s[i][j] = i; for(int k=i+1; k<j; k++) { //将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j]) int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j); if(u<t[i][j]) { t[i][j] = u; s[i][j] = k; } } } } return t[1][N-2]; } void Traceback(int i,int j,int **s) { if(i==j) return; Traceback(i,s[i][j],s); Traceback(s[i][j]+1,j,s); cout<<"三角剖分顶点:V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl; } int Weight(int a,int b,int c) { return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c]; }
程序输入如下所示:
运行结果如图:
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