算法笔记——【动态规划】凸多边形最优三角剖分

问题相关定义：
(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。
(2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

凸多边形三角剖分如下图所示：



2、最优子结构性质：

若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示：



可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。

3、递推关系：

设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。



因此，可得递推关系式：



凸(n+1)边形P的最优权值为t[1]
。





程序输入如下所示：



程序清单如下：

package MinWeightTriangulation;

/**
* Created by Administrator on 2016/2/29.
*/
public class MinWeightTriangulation {
public static int weight[][] =  {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};
public static int weight(int a,int b,int c){
return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}
public static int MinWeightTriangulation(int n, int[][] t, int[][] s) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
t[i][i] = 0;
}
for(int r = 2; r <= n; r++) {
for(int i = 1; i <=n-r+1;i++) {
int j = i + r -1;
t[i][j] = t[i+1][j] + weight(i - 1, i, j);
s[i][j] = i;
for(int k = i+1; k < i+r-1; k++) {
int u = t[i][k] + t[k+1][j] + weight(i - 1, k, j);
if(u < t[i][j]) {
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return t[1][5];
}
public static void Traceback(int i, int j, int[][] s) {
if(i == j) return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j] + 1,j,s);
System.out.println("三角剖分顶点：V" + (i-1) + ",V" + j + ",V" + s[i][j]);
}

public static void main(String args[]) {
int[][] s = new int[7][7];
int[][] t = new int[7][7];
for(int i = 1; i < 7; i ++) {
s[i] = new int[7];
t[i] = new int[7];
}
System.out.println("此多边形的最优三角剖分值为：" + MinWeightTriangulation(5,t,s));
Traceback(1,5,s);
}
}