如何生成全排列
2013-03-01 10:40
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[问题描述]:给定一个数组
,如何(按照字典序)生成它的全排列?比如(1,2,3),它的全排列就是(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).
在数学上,两个排列的大小定义为第一个不相等元素的大小关系,也就是说
当且仅当
。
根据上面的分析过程,
的全排列就是:以a1开头和剩下n-1个数的排列a1xxxx;以a2开头和剩下n-1个数的排列a2xxxx,...,以an开头和剩下n-1个数的排列anxxxx。这样问题的规模缩减为n-1,当n=1时变为平凡情形,可以直接求解(递归出口)。由此得出递归算法:
调用simple_recur_perm(arr, 0, n-1)即可。
这个函数有两个问题:(1)输出的排列不是按照字典序排列的;(2)无法处理有重复元素的情况。比如(1,1,2,3),它的全排列共有4!/2!=12个而不是24个。
对于问题1,这个递归函数和我们手工分析的略微有些差别:我们在生成ai(比如说a4)开头的排列时,并不是简单的让他和a1交换,然后生成a2a3a1a5...an的排列,而是生成a1a2a3a5...an的排列。也就是说,当ai固定在首位时,剩下的n-1个元素依然是有序的。问题2的修正方法很简单:当两个元素相等的时候,事实上没有必要交换它们,因为交换前后序列是一样的,因此会出现重复输出。
计算下一个排列的算法过程是:
从右端开始,找出第一个a[j]<a[j+1]的位置j,即
。如果找不到,就说明是反序(最后一个排列),没有下一个排列。
在j右边,找出最后一个比a[j]大的位置k,即
。显然k存在,因为j+1就满足条件。
交换a[j]和a[k]
将
反转,就得到A的下一个排列A'。
例如839647521是数字1~9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下:
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4;
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5;
将5与4交换得到839657421;
将7421倒转得到839651247;
所以839647521的下一个排列是839651247。
过程说完了,为什么这样得到的就是A的下一个排列?
首先,由于a[j]<a[k],而A[1...j-1]=A'[1...j-1],因此A'>A,A'一定排在A的后面。
其次,我们在计算(4123)的下一个排列时,一定是交换2和3生成(4132),而不是交换1和2,或者1和3。这是因为两个排列的大小关系由第一个不相等元素的大小关系决定,也就是说,前面的元素比后面的元素的权重更大。为了让A'尽可能的接近A(目标是A+1),应破坏那些权重最小的正序,就是说j是满足a[j]<a[j+1]的最右边的位置。
第三,j是最右边满足a[j]<a[j+1]的位置,因此j之后的序列一定是逆序。而a[k]>a[j],因此交换a[j],a[k]之后,a[j+1...n]依然是逆序。将它反转,从而变为正序(也就是最小的排列),使得A'>A且变换后的排列A'最小。
我实现的山寨版代码如下
它能够处理重复元素。
计算当前排列在全排列中的顺序叫做康托展开,计算公式为
X=p
*(n-1)!+p[n-1]*(n-2)!+...+p[i]*(i-1)!+...+p[1]*0!
其中p[i]表示a[0]a[1]...a[i-1]中比a[i]小的元素的个数。例如,3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884,X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884。
那么这个公式怎么得来的呢?计算全排列中的顺序,就是计算有多少个全排列比它还小。以上面这个例子说明,比它小的全排列有:
首先看首位,比3小的有1和2,1xxxxxxxx, 2xxxxxxxx,一共2*8!个;
再看第二位,比5小的有1,2,3,4,但是3已经在前面用了,31xxxxxxx, 32xxxxxx, 34xxxxxxx, 一共3*7!个
然后看第三位,比7小的有1,2,3,4,5,6,但3和5已经在前面用过了,3571xxxxx, 3572xxxxx, 3574xxxxx, 3576xxxxx,
……
计算的函数为:
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,因此根据全排列的顺序,也能将排列计算出来。如n=5,x=95时:
用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5
用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3
用1去除1!得到1余0,这一位是2
最后一位只能是1
所以这个数是45321。
根据全排列顺序直接生成排列的函数:
但康托展开不能处理有重复元素的情形。另外由于涉及阶乘,容易造成溢出。
用于测试的主函数:
另外,生成全排列的方法还有递增、递减进位制数法,邻位对换法等等,这里就不列举了(其实是因为我还没研究)。
参考资料: http://blog.csdn.net/goal00001111/article/details/3326619 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B1%95%E5%BC%80
本博客代码没有经过测试,因此BUG无数,欢迎无责任使用,出现问题与本人一概无关~
,如何(按照字典序)生成它的全排列?比如(1,2,3),它的全排列就是(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1).
在数学上,两个排列的大小定义为第一个不相等元素的大小关系,也就是说
当且仅当
。
1. 递归
观察我们手动生成全排列的过程,首先固定第一个元素:先写1开头的1xx,然后写2开头的2xx,然后是3开头的3xx;然后固定第二个元素:写1xx的时候,,剩下还有2,3两个元素,于是先写12x,然后再写13x。直到剩下一个元素,他的全排列只有一个(就是他自己)。根据上面的分析过程,
的全排列就是:以a1开头和剩下n-1个数的排列a1xxxx;以a2开头和剩下n-1个数的排列a2xxxx,...,以an开头和剩下n-1个数的排列anxxxx。这样问题的规模缩减为n-1,当n=1时变为平凡情形,可以直接求解(递归出口)。由此得出递归算法:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int cnt = 0; template <typename T> void printArray(T *first, T *last){ T *p = NULL; for(p = first; p != last; p++){ cout<<*p<<" "; } cout<<endl; } // 递归方法 template <typename T> void simple_recur_perm(T *arr, int left, int right) { int i; if(left == right){ printf("[%3d] ", cnt++); printArray(arr, arr+right+1); } else{ for(i = left; i <= right; i++){ std::swap(arr[i], arr[left]); //将ai交换到起始位置 simple_recur_perm(arr, left+1, right); std::swap(arr[left], arr[i]); //重新恢复数组 } } }
调用simple_recur_perm(arr, 0, n-1)即可。
这个函数有两个问题:(1)输出的排列不是按照字典序排列的;(2)无法处理有重复元素的情况。比如(1,1,2,3),它的全排列共有4!/2!=12个而不是24个。
对于问题1,这个递归函数和我们手工分析的略微有些差别:我们在生成ai(比如说a4)开头的排列时,并不是简单的让他和a1交换,然后生成a2a3a1a5...an的排列,而是生成a1a2a3a5...an的排列。也就是说,当ai固定在首位时,剩下的n-1个元素依然是有序的。问题2的修正方法很简单:当两个元素相等的时候,事实上没有必要交换它们,因为交换前后序列是一样的,因此会出现重复输出。
// 递归方法 template <typename T> void recur_perm(T *arr, int left, int right) { int i; if(left == right){ printf("[%3d] ", cnt++); printArray(arr, arr+right+1); } else{ for(i = left; i <= right; i++){ if(i != left && arr[left] == arr[i]) // 相等元素不需要交换 continue; std::rotate(arr+left, arr+i, arr+i+1); // 把ai放在首位 recur_perm(arr, left+1, right); std::rotate(arr+left, arr+left+1, arr+i+1); } } }
2. 字典序生成
STL有next_permutation()函数,能够直接计算出某个排列的下一个排列,对于序列计算下一个排列的算法过程是:
从右端开始,找出第一个a[j]<a[j+1]的位置j,即
。如果找不到,就说明是反序(最后一个排列),没有下一个排列。
在j右边,找出最后一个比a[j]大的位置k,即
。显然k存在,因为j+1就满足条件。
交换a[j]和a[k]
将
反转,就得到A的下一个排列A'。
例如839647521是数字1~9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下:
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4;
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5;
将5与4交换得到839657421;
将7421倒转得到839651247;
所以839647521的下一个排列是839651247。
过程说完了,为什么这样得到的就是A的下一个排列?
首先,由于a[j]<a[k],而A[1...j-1]=A'[1...j-1],因此A'>A,A'一定排在A的后面。
其次,我们在计算(4123)的下一个排列时,一定是交换2和3生成(4132),而不是交换1和2,或者1和3。这是因为两个排列的大小关系由第一个不相等元素的大小关系决定,也就是说,前面的元素比后面的元素的权重更大。为了让A'尽可能的接近A(目标是A+1),应破坏那些权重最小的正序,就是说j是满足a[j]<a[j+1]的最右边的位置。
第三,j是最右边满足a[j]<a[j+1]的位置,因此j之后的序列一定是逆序。而a[k]>a[j],因此交换a[j],a[k]之后,a[j+1...n]依然是逆序。将它反转,从而变为正序(也就是最小的排列),使得A'>A且变换后的排列A'最小。
我实现的山寨版代码如下
// 直接生成(stl::next_permutation) template <typename T> bool stl_permutation(T *arr, int len) { if(len <= 1) return false; int j, k; for(j = len-1; j >= 1; j--) { if(arr[j-1] < arr[j]) //第一个a[j-1]<a[j]的位置 break; } if(--j < 0){ //没找到,说明是反序 std::reverse(arr, arr+len); return false; } for(k = len-1; k >j; k--){ if(arr[k] > arr[j]) break; } std::swap(arr[j], arr[k]); std::reverse(arr+j+1, arr+len); return true; }
它能够处理重复元素。
3. 康托展开
上面的方法每次增加的顺序为1。能否根据A在全排列中的顺序,直接生成呢?计算当前排列在全排列中的顺序叫做康托展开,计算公式为
X=p
*(n-1)!+p[n-1]*(n-2)!+...+p[i]*(i-1)!+...+p[1]*0!
其中p[i]表示a[0]a[1]...a[i-1]中比a[i]小的元素的个数。例如,3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884,X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884。
那么这个公式怎么得来的呢?计算全排列中的顺序,就是计算有多少个全排列比它还小。以上面这个例子说明,比它小的全排列有:
首先看首位,比3小的有1和2,1xxxxxxxx, 2xxxxxxxx,一共2*8!个;
再看第二位,比5小的有1,2,3,4,但是3已经在前面用了,31xxxxxxx, 32xxxxxx, 34xxxxxxx, 一共3*7!个
然后看第三位,比7小的有1,2,3,4,5,6,但3和5已经在前面用过了,3571xxxxx, 3572xxxxx, 3574xxxxx, 3576xxxxx,
……
计算的函数为:
const int PermSize = 12; long long factorial[PermSize] = {1, 1, 2, 6, 24, 120,720, 5040, 40320, 362880, 3628800,39916800 }; template <typename T> long long Cantor(T *arr, int len){ int i, j; long long n = 0; long long C = 0; for(i = 0; i < len; i++){ n = 0; for(j = i+1; j < len; j++){ if(arr[j] < arr[i]) n++; } C += n * factorial[len-i-1]; } return C; }
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,因此根据全排列的顺序,也能将排列计算出来。如n=5,x=95时:
用95去除4! 得到3余23,说明有3个数比第1位小,所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5,说明有3个数比第2位小,所以是4,但是4已出现过,因此是5
用5去除2!得到2余1,类似地,这一位是3
用1去除1!得到1余0,这一位是2
最后一位只能是1
所以这个数是45321。
根据全排列顺序直接生成排列的函数:
template <typename T> void inverseCantor(T *arr, int len, long long C){ int i, j; for(i = 0; i < len; i++){ j = C / factorial[len-1-i]; C -= j*factorial[len-1-i]; std::nth_element(arr+i, arr+i+j, arr+len); std::swap(arr[i], arr[i+j]); } }
但康托展开不能处理有重复元素的情形。另外由于涉及阶乘,容易造成溢出。
用于测试的主函数:
int main() { const int N = 4; int a = {1, 2, 3, 4}; std::sort(a, a+N); // 递归 cnt = 0; simple_recur_perm(a, 0, N-1); recur_perm(a, 0, N-1); cout<<endl; // 直接计算下一个排列 cnt = 0; do{ printf("[%3d] ", cnt++); printArray(a, a+N); }while(stl_permutation(a, N)); cout<<endl; //康托展开 cnt = 0; for(cnt = 0; cnt < factorial ; cnt++){ printf("[%3d] ", cnt); inverseCantor(a, N, cnt); printArray(a, a+N); } return 0; }
另外,生成全排列的方法还有递增、递减进位制数法,邻位对换法等等,这里就不列举了(其实是因为我还没研究)。
参考资料: http://blog.csdn.net/goal00001111/article/details/3326619 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B1%95%E5%BC%80
本博客代码没有经过测试,因此BUG无数,欢迎无责任使用,出现问题与本人一概无关~
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