合并排序（归并排序 MergeSort）

合并排序(MergeSort)是一种采用分治法策略对一组无序数据进行排序的算法。

分治法：将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归的解决这些子问题，然后合并子问题的结果，就得到原问题的解。分治法在每一层递归上有3个步骤：分解、解决、合并。

分解(Divide)：将原问题分解为一系列子问题。

解决(Conquer)：递归的解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解。

合并(Combine)：将子问题的解合并成原问题的解。

一、合并排序原理

合并排序(MergeSort)算法完全依照了上述模式，直观的操作如下：

分解：将n个元素分成各含有n/2个元素的子序列。

解决：用合并排序法对两个子序列递归的排序。

合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。

二、合并排序算法分析

合并排序采用分治法策略将原问题分解为k的规模较小的子问题，递归求解再合并以得到原问题的解。

合并排序所用的复杂性分析如下：

（1）分解：这一步仅是计算出子数组中的中间位置，需要常量时间，因而D(n)=O(1);

（2）解决：递归的解两个规模是n/2的子问题时间为2T(n/2)；

（3）合并：我们已经注意到在一个含有n个元素的子数组上，Merge过程中的运行时间是O(n)，则C(n)=O(n)；

整体公式为：



可得：T(n)=O(nlogn) 是渐进意义下的最优算法；

三、合并排序实现

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define N 15
using namespace std;

void Merge(int * array,int low,int middle,int high);
void MergeSort(int * array,int low,int high);
int main()
{
int array
;
srand(time(0));//设置随机化种子，避免每次产生相同的随机数
for(int i=0 ; i<N ; i++)
{
array[i] = rand()%101;//数组赋值使用随机函数产生1-100之间的随机数
}
cout<<"排序前："<<endl;
for(int j=0;j<N;j++)
{
cout<<array[j]<<"  ";
}
cout<<endl<<"排序后："<<endl;
//调用合并排序函数对该数组进行排序
MergeSort(array,0,N-1);
for(int k=0;k<N;k++)
{
cout<<array[k]<<"  ";
}
cout<<endl;
return 0;
}//main

void MergeSort(int *array,int low,int high)
{
if(low<high)
{
int middle = (low+high)/2;
MergeSort(array,low,middle);
MergeSort(array,middle+1,high);//注意取值middle+1 至 q
Merge(array,low,middle,high);
}//if
}//MergeSort
void Merge(int *array,int low,int middle,int high)
{
int lSize = middle-low+1;//low至middle之间的数据个数
int rSize = high-middle;//middle至high之间的数据个数
int *lArray = new int[lSize];//声明左半边数组
int *rArray = new int[rSize];//声明右半边数组
for(int i=0;i<lSize;i++)
{
lArray[i] = array[low+i];//为左半边数组赋值
}//for

for(int j=0;j<rSize;j++)
{
rArray[j] = array[middle+j+1];//为右半边数组赋值
}//for

/*a为了Array数组的循环变量，b为rArray数组的循环变量，
*k为原数组array的循环变量
*/
int a=0,b=0,k;
for(k=low;k<=high;k++)
{
if(a>=lSize)
{
array[k] = rArray[b++];
}else if(b>=rSize){
array[k] = lArray[a++];
}else{
if(lArray[a]<=rArray[b])
{
array[k] = lArray[a++];
}else{
array[k] = rArray[b++];
}//else
}//else
}//for
}//Merge

运行结果：