0-1 背包问题 动态规划

http://blog.csdn.net/sunshinewave/article/details/8040421

分析如下：

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

  阶段 I （物品的数量）

  每个阶段的状态： 前i个物品 总容量不超过 v的 最大价值  f[i][v]

  状态转移方程  

当v大于c[i]  f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

当v小于c[i]  f[i][v] = f[i-1][v]

边界控制   I =0  或 v=0 时 f[i][v] =0

for i:=1 to v do f[0,i]:=0;

for i:=1 to n do f[i,0]:=0;

for i:=1 to n do

for j:=1 to v do

begin

if j>=c[i] then f[i,j]:=max(f[i-1,j-c[i]]+w[i],f[i-1,j])

else f[i,j]:=f[i-1,j];

end;

详解：

测试数据：

3 10

4 3

5 4

6 5


+

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

参考代码如下：

//0-1背包问题

int Max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}

//4 10
void Bag01()
{
int N,V;//N为容量 v为价值
int sum[101][100]={0};
int i,j;
int c[100]={0},w[100]={0};
while(cin>>N>>V)
{
for(i=1;i<=N;i++)
cin>>c[i]>>w[i];//C用来存放当前物体的价值，w为当前物体的容积

for(i=0;i<=N;i++)
for(j=0;j<=V;j++)
sum[i][j]=0;

cout<<"分配方法:"<<endl;
for(i=1;i<=N;i++)
for(j=1;j<=V;j++)
{
if(j>=w[i])//如果当前的容积大于w[i]第i个物体的容积
{
//Sum[i][j].i为编号 j为容量  w[]为容积
//C[] 为价值
/*
sum[i][j]=max{sum[i-1][j],sum[i-1][j-w[i]]+c[i]}
*/
sum[i][j]=Max(sum[i-1][j],sum[i-1][j-w[i]]+c[i]);
//Max{不放入当前物体，放入当前物体}
}
else//如果当前的容积小于第i个物体的容积
sum[i][j]=sum[i-1][j];//不放当前物品
cout<<sum[i][j]<<" ";
if(j%V==0)
cout<<endl;
}
cout<<"最大值"<<sum
[V]<<endl;
}
}

int main()
{
Bag01();
return 0;
}

 

void Bag01Test()
{
int N,V;//N为物品的数量，V为物品的最大容量。用来创建一个N*V的二维数组
int sum[101][100]={0};
int i,j;
int cValueOrMoney[100]={0},wWeight[100]={0};
while(cin>>N>>V)//手动输入已知物品的总数量，以及物品的单个物品的价值
{
//初始化
for(i=1;i<=N;i++)
cin>>cValueOrMoney[i]>>wWeight[i];
for(i=0;i<=N;i++)
for(j=0;j<=V;j++)
sum[i][j]=0;//Sum存储的是最终结果
cout<<"分配方法:"<<endl;
for(i=1;i<=N;i++)//i为物品的编号
for(j=1;j<=V;j++)//V为容量
{
if(j>=wWeight[i])
{
sum[i][j]=Max(sum[i-1][j],sum[i-1][j-wWeight[i]]+cValueOrMoney[i]);
}
else
sum[i][j]=sum[i-1][j];
cout<<sum[i][j]<<" ";
if(j%V==0)
cout<<endl;
}
}
}