MATLAB解方程与函数极值

1.线性方程数值求解

　　主要是用到了计算方法里的LU分解等，不过是加快了求解速度而已（相对于inv(A)*b或者A\b）

2.非线性方程数值求解

　　1 单变量非线性方程求解
在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：
z=fzero('fname',x0,tol,trace)
　　其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时　　　　 显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。

例 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。
步骤如下：
(1) 建立函数文件funx.m。
　　 function fx=funx(x)
　　 fx=x-10.^x+2;
(2) 调用fzero函数求根。
　　z=fzero('funx',0.5)
　　z =
　　0.3758

　　2 非线性方程组的求解

　　对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：
X=fsolve('fun',X0,option)
其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。

例 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。
(1) 建立函数文件myfun.m。
function q=myfun(p)
x=p(1);
y=p(2);
q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);
q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);
(2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的根。
x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))
x =
0.6354
0.3734

将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：
q=myfun(x)
q =
1.0e-009 *
0.2375 0.2957
可见得到了较高精度的结果。

3. 常微分方程初值问题的数值解法

　　龙格－库塔法的实现
基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)
其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。

例 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。
(1) 建立函数文件funt.m。
function yp=funt(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
(2) 求解微分方程。
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解
y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解
t'
y'
y1'

　　y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。

4. 函数极值
MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和fmins，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名，x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。

MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。

例 求f(x)=x3-2x-5在[0,5]内的最小值点。
(1) 建立函数文件mymin.m。
function fx=mymin(x)
fx=x.^3-2*x-5;
(2) 调用fmin函数求最小值点。
x=fmin('mymin',0,5)
x=
0.8165

5.复数相关

matlab里可以直接输入数学表达式计算。

空格三个点号为续行符，必须加空格，否则被认为是无法识别的操作符。

可以1 + 4*i或者1 + 4i表示复数，exp(x)表示指数函数。

生成复数阵，每个元素是复数，或者[1 2;4 5] - [7 8; 56 7]*i。

real（实部），imag（虚部），abs（求模），angle(求角)

>> (-8)^(1/3)

ans =

1.0000 + 1.7321i
-8^(1/3)

ans =

-2

因为计算是按复数计算，在复数面内旋转－1/3圈，即顺时针三分之一圈，所以得到1.0000 + 1.7321i
使用时注意就可以了

6.matlab中画的图形想要加上网格线，须先plot在grid，顺序反了和没加grid一样。

画出衰减振荡曲线及其它的包络线。

t=0:pi/50:4*pi;
y0=exp(-t/3);
y=exp(-t/3).*sin(3*t);
plot(t,y,'-r',t,y0,':b',t,-y0,':b')
grid

7.eps是matlab中最小的正数。eps=2.22044604925031e-016
在matlab的数值计算中，当发现某个值小于eps时，就把这个数当做0来处理。

历史指令再运行（选择全部需要的代码，右键选择evaluate section）。

8.