在从1到n的正数中1出现的次数[算法]

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题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

分析：这是一道广为流传的google面试题。用最直观的方法求解并不是很难，但遗憾的是效率不是很高；而要得出一个效率较高的算法，需要比较强的分析能力，并不是件很容易的事情。当然，google的面试题中简单的也没有几道。

首先我们来看最直观的方法，分别求得1到n中每个整数中1出现的次数。而求一个整数的十进制表示中1出现的次数，就和本面试题系列的第22题很相像了。我们每次判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1。基于这个思路，不难写出如下的代码：

int NumberOf1(unsigned
int n);

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// Find the number of 1 in the integers between 1 and n

// Input: n - an integer

// Output: the number of 1 in the integers between 1 and n

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int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned
int n)

{

int number = 0;

// Find the number of 1 in each integer between 1 and n

for(unsigned
int i = 1; i <= n; ++ i)

number += NumberOf1(i);

return number;

}

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Find the number of 1 in an integer with radix 10

// Input: n - an integer

// Output: the number of 1 in n with radix

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

int NumberOf1(unsigned
int n)

{

int number = 0;

while(n)

{

if(n % 10 == 1)

number ++;

n = n / 10;

}

return number;

}

这个思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数，因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率很低。我们试着找出一些规律，来避免不必要的计算。

我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段，即1-1235和1346-21345。

先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（104）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*103，其中2的第一位的数值，103是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*103）。

至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1235和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数104（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是104次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

基于前面的分析，我们可以写出以下的代码。在参考代码中，为了编程方便，我把数字转换成字符串了。

#include
"string.h"

#include "stdlib.h"

int NumberOf1(const
char* strN);

int PowerBase10(unsigned
int n);

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Find the number of 1 in an integer with radix 10

// Input: n - an integer

// Output: the number of 1 in n with radix

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(int n)

{

if(n <= 0)

return 0;

// convert the integer into a string

char strN[50];

sprintf(strN, "%d", n);

return NumberOf1(strN);

}

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Find the number of 1 in an integer with radix 10

// Input: strN - a string, which represents an integer

// Output: the number of 1 in n with radix

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int NumberOf1(const
char* strN)

{

if(!strN || *strN <
'0' || *strN > '9' || *strN ==
'\0')

return 0;

int firstDigit = *strN -
'0';

unsigned int length =
static_cast<unsigned
int>(strlen(strN));

// the integer contains only one digit

if(length == 1 && firstDigit == 0)

return 0;

if(length == 1 && firstDigit > 0)

return 1;

// suppose the integer is 21345

// numFirstDigit is the number of 1 of 10000-19999 due to the first digit

int numFirstDigit = 0;

// numOtherDigits is the number of 1 01346-21345 due to all digits

// except the first one

int numOtherDigits = firstDigit * (length - 1) * PowerBase10(length - 2);

// numRecursive is the number of 1 of integer 1345

int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);

// if the first digit is greater than 1, suppose in integer 21345

// number of 1 due to the first digit is 10^4. It's 10000-19999

if(firstDigit > 1)

numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);

// if the first digit equals to 1, suppose in integer 12345

// number of 1 due to the first digit is 2346. It's 10000-12345

else if(firstDigit == 1)

numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;

return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;

}

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// Calculate 10^n

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int PowerBase10(unsigned
int n)

{

int result = 1;

for(unsigned
int i = 0; i < n; ++ i)

result *= 10;

return result;

}