求数组中和最大的子数组（数组中和最大的子串）

某公司面试题，回来找的答案这个是最好的。

又一个经典问题，对于一个包含负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。

这里我们需要注意子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。

要说明Kadane算法的正确性，需要两个结论。首先，对于array[1...n]，如果array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i...k]的和小于0，那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由于array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们可以比较array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p...q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

下面是实现代码：

int Kadane(const int array[], size_t length, unsigned int& left, unsigned int& right)
{
unsigned int i, cur_left, cur_right;
int cur_max, max;

cur_max = max = left = right = cur_left = cur_right = 0;

for(i = 0; i < length; ++i)
{
cur_max += array[i];

if(cur_max > 0)
{
cur_right = i;

if(max < cur_max)
{
max = cur_max;
left = cur_left;
right = cur_right;
}
}
else
{
cur_max = 0;
cur_left = cur_right = i + 1;
}
}

return max;
}

这里我们需要注意，对于数组元素全为负的情况，由于不满足上述的两条结论，所以Kadane算法无法给出正确答案。

该问题是1977年Ulf Grenander提出的一个数字图像方面的问题，1984年Jay Kadane才给出了这个优美的解决方案。有些问题，看似解法简单，但是实际上其原理，要比代码复杂得多。

支持全部都是负数的修改C语言实现如下：

[cpp]
view plaincopyprint?

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void printArray(int * array, int len);
int subArrayMaxSum(int *a, int len, int* start, int * end);

int main(int argc, char* argv[], char* env[])
{
int arrays[][9] = {
{-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4},
{-2, -1, -3, -4, -1, -2, -1, -5, -4},
{-2, 1, -3, -4, 10, -2, 1, -5, 4, }
};
int len;
int left;
int right;
int maxSum;
int i;

int n = sizeof(arrays)/sizeof(arrays[0]);

for(i=0; i<n; i++) {
len = sizeof(arrays[i])/sizeof(arrays[i][0]);
maxSum = subArrayMaxSum(arrays[i], len, &left, &right);

printf("array:");
printArray(arrays[i], len);
printf(".\nThe max sum sub array is \n");
printArray(arrays[i]+left, right-left+1);
printf("\n the max sum is %d \n\n\n", maxSum);
}

return 0;
}

void printArray(int * array, int len) {
int i;
printf("[");
for(i=0; i<len; i++){
printf("%d, ", array[i]);
}
printf("]");
}

int subArrayMaxSum(int *array, int len, int* start, int* end){
int left;
int right;
int cur_left;
int max_sum;
int cur_sum;
int i;

left = 0;
right = 0;
cur_left = 0;
max_sum = 0;
cur_sum = 0;

for(i=0; i<len; i++) {
if(cur_sum < 0) { //开始新的子数组
cur_sum = array[i];
cur_left = i;

}else {
if(cur_sum > max_sum) { //更新最大子数组区间和最大子和。
max_sum = cur_sum;
if(left != cur_left) left = cur_left;
right = i-1;
}
cur_sum += array[i];
}
}

if(max_sum == 0) { // 元素全部为负
max_sum = array[0];
for(i=1; i<len; i++) {
if(array[i] > max_sum) {
max_sum = array[i];
left = i;
}
}
right = left;
}

*start = left;
*end = right;

return max_sum;
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void  printArray(int * array, int len);
int subArrayMaxSum(int *a, int len, int* start, int * end);

int main(int argc, char* argv[], char* env[])
{
int arrays[][9] = {
{-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4},
{-2, -1, -3, -4, -1, -2, -1, -5, -4},
{-2, 1, -3, -4, 10, -2, 1, -5, 4, }
};
int len;
int left;
int right;
int maxSum;
int i;

int n  = sizeof(arrays)/sizeof(arrays[0]);

for(i=0; i<n; i++) {
len = sizeof(arrays[i])/sizeof(arrays[i][0]);
maxSum = subArrayMaxSum(arrays[i], len, &left, &right);

printf("array:");
printArray(arrays[i], len);
printf(".\nThe max sum sub array is \n");
printArray(arrays[i]+left, right-left+1);
printf("\n the max sum is %d \n\n\n", maxSum);
}

return 0;
}

void  printArray(int * array, int len) {
int i;
printf("[");
for(i=0; i<len; i++){
printf("%d, ", array[i]);
}
printf("]");
}

int subArrayMaxSum(int *array, int len, int* start, int* end){
int left;
int right;
int cur_left;
int max_sum;
int cur_sum;
int i;

left = 0;
right = 0;
cur_left = 0;
max_sum = 0;
cur_sum = 0;

for(i=0; i<len; i++) {
if(cur_sum < 0) {  //开始新的子数组
cur_sum = array[i];
cur_left = i;

}else {
if(cur_sum > max_sum) { //更新最大子数组区间和最大子和。
max_sum = cur_sum;
if(left != cur_left)  left = cur_left;
right = i-1;
}
cur_sum += array[i];
}
}

if(max_sum == 0) { // 元素全部为负
max_sum = array[0];
for(i=1; i<len; i++) {
if(array[i] > max_sum) {
max_sum = array[i];
left = i;
}
}
right = left;
}

*start = left;
*end = right;

return max_sum;
}

测试结果：