给定一个整数,打印出它的所有素数因子--两种方法,两种效率。
2012-10-16 13:45
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程序分析:对n进行分解质因数,应先找到一个最小的质数k,然后按下述步骤完成:
(1)如果这个质数恰等于(小于的时候,继续执行循环)n,则说明分解质因数的过程已经结束,另外 打印出即可。
(2)但n能被k整除,则应打印出k的值,并用n除以k的商,作为新的正整数n.重复执行第二步。
(3)如果n不能被k整除,则用k+1作为k的值,重复执行第一步。
先给出代码,然后我在解释这个程序为什么能够执行成功。
如果输入的数据是偶数的话,循环从2开始,执行while循环后这个数肯定编程奇数。那么大家从小学学数学的时候都知道,质数除去2之外,都是奇数。自然数序列中奇数有两种,一种是质数(奇数),另一种肯定是质奇数的倍数。所当输入的偶数据编程奇数之后肯定能被分解,分解或是一个质奇数,或者是几个质奇数的乘积。如果输入数据时奇数的话,那很显然能被分解成质奇数的乘积。此程序是当num=1的时候结束。
可以很清楚的看到,上面的算法有很多不必要的判断,就是当i = 4,或者 i = 6的时候。所以下面给出一个更高效的算法。
1,首先判断n是否可以被2整除,如果可以,那么n/2之后再进行判断,直至n变成奇数。
2,接下来开始一个从i=3,到 i = sqrt(n)的循环,当i可以整除n的时候,进行整除运算,直至不能整除位置,然后i一次递增2。
3,当第2部结束之后得到的n,要对其进行判断,看它是1还是比2大的质数。
解释一下程序是如何工作的:第1,2步处理的是当n是组合数的情况(就是非质数),第3步是处理n是质数的情况。为了证明整个算法的正确性,需要证明1,2的确是处理了组合数的情况。可以清晰的看到1处理了所有偶数的情况,第一步之后得到的n肯定是个奇数,而且n的两个不同的质数因子之间的差值至少为2。因为n的值是随着程序不断变动的,所以假设n的最初值记录在k中。上面的算法第二步中的for循环没有执行到k的平方根的时候就结束了。这是一种很巧妙的优化。下面证明这个优化的正确性:对于每个组合数而言,最少有一个素数因子是小于或者等于它的平方根的,用反证法证明这一点。假设a,b是n的两个因子,a
* b = n, 假如a,b都大于n的平方根,那么a*b的值就会大于n,与他们之积等于n相反。在第2步的循环中,主要做以下的工作:a,找到n的最小素数因子;b,在while循环中,通过不断的n/i,来去除n中包含的所有i因子;c,通过重复的执行a,b两步,使得最终的n要么是1,要么是比2大的素数。
(1)如果这个质数恰等于(小于的时候,继续执行循环)n,则说明分解质因数的过程已经结束,另外 打印出即可。
(2)但n能被k整除,则应打印出k的值,并用n除以k的商,作为新的正整数n.重复执行第二步。
(3)如果n不能被k整除,则用k+1作为k的值,重复执行第一步。
先给出代码,然后我在解释这个程序为什么能够执行成功。
#include <stdio.h> int main() { int num, i; printf("please input a num:"); scanf("%d", &num); printf("%d=", num); for(i = 2; i <= num; i++) { while(num % i == 0) { num /= i; if(num != 1) { printf("%d*", i); } else { printf("%d", i); } } } printf("\n"); return 0; }
如果输入的数据是偶数的话,循环从2开始,执行while循环后这个数肯定编程奇数。那么大家从小学学数学的时候都知道,质数除去2之外,都是奇数。自然数序列中奇数有两种,一种是质数(奇数),另一种肯定是质奇数的倍数。所当输入的偶数据编程奇数之后肯定能被分解,分解或是一个质奇数,或者是几个质奇数的乘积。如果输入数据时奇数的话,那很显然能被分解成质奇数的乘积。此程序是当num=1的时候结束。
可以很清楚的看到,上面的算法有很多不必要的判断,就是当i = 4,或者 i = 6的时候。所以下面给出一个更高效的算法。
1,首先判断n是否可以被2整除,如果可以,那么n/2之后再进行判断,直至n变成奇数。
2,接下来开始一个从i=3,到 i = sqrt(n)的循环,当i可以整除n的时候,进行整除运算,直至不能整除位置,然后i一次递增2。
3,当第2部结束之后得到的n,要对其进行判断,看它是1还是比2大的质数。
#include<stdio.h> #include<math.h> void prime_factors(int n) { int i; while(n % 2 ==0) { n = n / 2; printf("%d ", 2); } for(i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) { while(n % i == 0) { n = n / i; printf("%d ", i); } } if(n > 2) { printf("%d" , n); } printf("\n"); } void main() { int n = 315; prime_factors(315); }
解释一下程序是如何工作的:第1,2步处理的是当n是组合数的情况(就是非质数),第3步是处理n是质数的情况。为了证明整个算法的正确性,需要证明1,2的确是处理了组合数的情况。可以清晰的看到1处理了所有偶数的情况,第一步之后得到的n肯定是个奇数,而且n的两个不同的质数因子之间的差值至少为2。因为n的值是随着程序不断变动的,所以假设n的最初值记录在k中。上面的算法第二步中的for循环没有执行到k的平方根的时候就结束了。这是一种很巧妙的优化。下面证明这个优化的正确性:对于每个组合数而言,最少有一个素数因子是小于或者等于它的平方根的,用反证法证明这一点。假设a,b是n的两个因子,a
* b = n, 假如a,b都大于n的平方根,那么a*b的值就会大于n,与他们之积等于n相反。在第2步的循环中,主要做以下的工作:a,找到n的最小素数因子;b,在while循环中,通过不断的n/i,来去除n中包含的所有i因子;c,通过重复的执行a,b两步,使得最终的n要么是1,要么是比2大的素数。
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