c语言：实现对于给定的正整数N，依次打印出小于等于N的所有素数。两种方法及其优化

请编写一个程序，实现对于给定的正整数N，依次打印出小于等于N的所有素数。方法一：试除法由素数的定义得到如下程序：
#include<stdio.h>
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j < i; j++)
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (i==j)
{
printf("%d\t",i);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数：");
scanf("%d", &num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数：");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数", num);
}
printf("\n");
return 0;
}
上面的代码中，在判断素数时一直从2试除到n－1。这里从n／2之后的数到n－1的试除显然是多余的，比如正整数7不能被2整除，必然不能被4,6整除。优化1:试除的范围优化到［2，n／2］，则工作量减少一半，代码如下：
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j <= i/2; j++)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j == (i/2+1))//修改部分
{
printf("%d\t", i);
}
}
}

既然能将试除范围优化到［2，n/2］，那么这个范围是不是还能继续优化呢？答案是肯定的，在［2，n/2］这个范围里（√n，n／2］的试除也是多余的。因为因数是成对出现的，如16可分解为：1和16 、2和8、4和4、8和2、16和1。这些因数里必然有一个小于等于4。故只需试除小于等于√n的数就可以了。优化2: 试除范围优化为［2，√n］，代码如下：#include<stdio.h>
#include<math.h>//修改部分

int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
for (i = 2; i <= num; i++)
{
int j = 0;
for (j = 2; j <=sqrt(i); j++)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j > sqrt(i))//修改部分
{
printf("%d\t", i);
}
}
}
上面所有的代码在找素数的时候是从2到n，在这个范围内除了2之外的偶数都不是素数，所以可以跳过这些偶数。 还有试除范围内除了2之外的偶数也是没有必要的，因为如果不能被2整除，必然不能被大于2的偶数整除。优化3： 寻找素数时和试除范围内跳过除2之外的偶数。代码如下：
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int i = 0;
printf("%d\t", 2);//修改部分
for (i = 3; i <= num; i+=2)//修改部分
{
int j = 2;
for (j = 3; j <= sqrt(i); j+=2)//修改部分
{
if (i%j == 0)
{
break;
}
}
if (j > sqrt(i))
{
printf("%d\t", i);
}
}
}
在上面的代码中，试除范围内的一些数也是不必要的。比如判断101是否为素数时，要分别试除小于10的2和所有奇数，即2、3、5、7、9，其中对9的试除是不必要的。即对所有的非素数的试除是不必要的，因为非素数必然可分解为比它小的素数的乘积，既然它的质因数不能整除某个数，这个数必然也不能。故试除的范围可缩小到小于等于√n的所有素数。优化4: 只试小于√n的素数，那么问题来了，要试除这些素数时必然要将前面求出的素数保存起来，开辟多大一块空间合适呢？因为n的大小未知，所以无法确定开辟多少空间。这里暂时没有完全解决的办法，我的做法是先开辟大小为1000的空间，需要时再修改。#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int arr[MAX] = { 0 };
int i = 0,j=1;
printf("%d\t", 2);
arr[0] = 2;
for (i = 3; i <= num; i += 2)
{
int k = 0;
while (arr[k]>0&&arr[k]<=sqrt(i))
{
if (i%arr[k] == 0)
{
break;
}
k++;
}
if (!arr[k]||(arr[k] > sqrt(i)))
{
printf("%d\t", i);
arr[j] = i;
j++;
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数：");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数：");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
方法二：筛选法 这种方法求素数的思想就是，不断筛去最小的数的倍数。这个最小的数必然是素数。 比如最小的素数是2，去掉所有2的倍数；接下来最小的数是3，3就是素数，去掉所有的3的倍数；依次类推，直到最小的数小于等于√n为止。为什么是√n呢？ 在上面的试除法中讲到只要试除小于等于√n的所有素数即可判断出小于等于n的所有素数，这里同样适用，只要去掉所有的小于等于√n的所有数的倍数，剩下的数就是小于等于n的所有素数。代码如下：#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
int print_prime(int num)//prime表示素数
{
int arr[MAX] ;
int i = 0,j=0;
for (i = 0; i < num - 2; i++)//初始化数组[2,num]
{
arr[i] = i + 2;
}
while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围
{
for (i = j + 1; i < num - 1; i++)
{
if (arr[i]%arr[j] ==0)//筛去arr[i]的倍数
{
arr[i] = 0;
}
}
j++;
while(!arr[j])//确定最小数
{
j++;
}
}
for (i = 0; i < num - 1; i++)
{
if (arr[i])
{
printf("%d\t",arr[i]);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数：");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数：");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
上面的代码有一个很明显的缺陷就是开辟空间过大，如何来解决这个问题呢？ 上述代码所开辟的空间为int型，占用4个字节，占用空间太多，可以构造一个bool型数组，bool型是一个基本的数据类型，占1个字节，以下标来存储数据，节省了75%的空间。 优化：构造bool型数组，以下标来存储数据,每个数只占一个字节。代码如下：#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#include<math.h>
#define MAX 1000 //定义数组的大小
void print_prime(int num)//prime表示素数
{
bool arr[MAX] ;
int i = 0,j=2;
for (i = 0; i <num ; i++)//初始化数组为真
{
arr[i] = 1;
}
while (arr[j]<=sqrt(num))//除数的范围
{
for (i = j + 1; i <= num ; i++)
{
if (i%j ==0)//筛去arr[i]的倍数
{
arr[i] = 0;
}
}
j++;
while(!arr[j])//确定最小数
{
j++;
}
}
for (i = 2; i <=num ; i++)//打印素数
{
if (arr[i])
{
printf("%d\t",i);
}
}
}
int main()
{
int num;
printf("请输入一个正整数：");
scanf("%d",&num);
if (num > 1)
{
printf("打印出所有的素数：");
print_prime(num);
}
else
{
printf("不存在小于等于%d的素数",num);
}
printf("\n");
return 0;
}
结果1：请输入一个正整数：9打印出所有的素数：2 3 5 7请按任意键继续. . .结果2：请输入一个正整数：1不存在小于等于1的素数请按任意键继续. . .

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