时间序列分析之一次指数平滑法

指数平滑法最早是由C.C Holt于1958年提出的，后来经统计学家深入研究使得指数平滑法非常丰富，应用也相当广泛，一般有简单指数平滑法、Holt双参数线性指数平滑法、Winter线性和季节性指数平滑法。这里的指数平滑法是指最简单的一次指数平滑。

指数平滑法是一种特殊的加权平均法，对本期观察值和本期预测值赋予不同的权重，求得下一期预测值的方法。

一次指数平滑法公式如下：


————————-（1）


为t+1期的指数平滑趋势预测值；


为t期的指数平滑趋势预测值；


为t期实际观察值；


为权重系数，也称为指数平滑系数那为什么这个种方法会叫做指数平滑法呢？从这个公式并没有看到指数的出现，那指数从何说起？平滑又是什么意思，下面就解析这个问题。

在（1）中，最后一个

又可以写成如下


——————–（2）
于是我们把（2）代入（1）式中，得


————————-（3）
而t-1期的预测值又可以写成：


————————(4)
把（4）代入（3）式中，得：


————-(5)
同样道理，再进行多一次同样的代入运算，得：


————-(6)
通用公式可以写成如下形式：


———-（7）
由（7）式我们可以看出，t+1期的预测值跟t期及之前的所有期的实际观察值按

的n递增，所以这里就是指数平滑法中的“指数”的意义所在。

由于

的n（整数）按步长1一直递增，而

在0到1之间，所以

的值会越来越小，从（7）式中看就是说离t+1期越久远的实际观察值，对t+1期的预测值的影响越少。

从（7）式中，还有最后一项

，F1就是第一期的预测值，但数据中并没有第一期的预测值，所以一般取前3期的实际观察值来代替，实际上这个F1并不重要，因为

是个介于0-1之间的小数，当t很大时，

的t次方（乘方）后，

已经非常接近0的了，所以F1在（7）式中的作用并不大。

（7）式用文字描述就是，对离预测期较近的观察值赋予较大的权数，对离预测值较远的观察值赋予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以叫做指数平滑法。

上面说到第一期的F1的值一般取前三期的实际观察值的平均数，这只是一般情况，接下来讨论一下这个F1的取值。

一般分为两种情况，当样本为大样本时（n>42），F1一般以第一期的观察值代替；当样本为小样本时（n<42），F1一般取前几期的平均值代替。

下面举个例子来说明指数平滑法的计算方法，让大家更容易清晰的明白指数平滑法是如何进行的。

某产品过去20个月的销售数据如下（点击下载EXCEL文件exponential_smoothing.zip ）:



C列为指数平滑法计算得到的预测值，F1的值为前三期的平均值，即在C2处输入=AVERAGE(B2:B4)，C3处输入=$E$1*B2+(1-$E$1)*C2，E1的值是指数平滑系数，C3中引用到E1的值需要有绝对引用，这样把C3处的公式下拉复制到C21时，公式永远都是引用E1的指数平滑系数。

得出来的结果如下图：



可以看到，指数平滑法进行预测，是有滞后作用的，这是指数平滑法的一个缺点。要对21期进行预测，只需在A22处输入21，把公式下拉复制到C22即可。

由此图可见，预测趋势与实际变动趋势一致，但预测值比实际值滞后，如果再算一下均方误差，也会出现比较大的情况，一般通过改变指数平滑系数，找出一个均方误差最小的。

一次指数平滑法优点在于它在计算中将所有的观察值在考虑在内，对各期按时期的远近赋予不同的权重，使预测值更接近实际观察值。

但一次指数平滑法只适合于具有水平发展趋势的时间序列分析，只能对近期进行预测。如果碰到时间序列具有上升或下降趋势时，在这个上升或下降的过程中，预测偏差会比较大，这时最好用二次指数平滑法进行预测，二次指数平滑法将会在以后的文章中介绍。