程序员面试题100题第03题——求子数组的最大和

题目：输入一个整型数组，数组里有整数也有负数。数组中连续的一个或者多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

分析：

方法一：当我们加上一个正数时和会增加，当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零。

int FindMaxsumOfSubarray(const vector<int>& vec)
{
int sum=0;
int MaxSum=0;
for(vector<int>::size_type i=0; i<vec.size(); i++)
{
sum += vec[i];

if(sum < 0)
sum=0;
if(sum > MaxSum)
MaxSum=sum;
}

if(MaxSum==0)//if all data are negative ,find the max in vec
{
MaxSum = vec[0];
for(vector<int>::size_type i=1; i<vec.size(); i++)
{
sum = vec[i];
if(sum > MaxSum)
MaxSum=sum;
}
}
return MaxSum;
}

方法二：

考虑数组的第一个元素A[0],以及最大的一段数组(A[i]...A[j])跟A[0]的关系，有一下三种情况：

1、0=i=j 元素A[0]本身构成和最大一段；

2、0=i<j　　 和最大一段从A[0]开始

3、0<i　　　 和最大一段和A[0]没有关系

所以假设：

已经知道

(A[1]...An-1])的最大和段之和为all[1];

(A[1]...An-1])的包含A[1]的最大和段之和为start[1];

那么all[0]=max{A[0], A[0]+start[1], all[1]};

而start[0]=max{A[0], A[0]+start[1]};

所以all[0]=max{start[0],all[1]};

int max_sum(const vector<int>& arr)
{
int n=arr.size();
vector<int> all(n);
vector<int> start(n);

all[n-1]=arr[n-1];
start[n-1]=arr[n-1];

for(int i=n-2; i>=0; i--)
{
start[i]=max_num(arr[i],arr[i]+start[i+1]);
all[i]=max_num(start[i],all[i+1]);
}
return all[0];
}

进一步分析可得到额外空间只需要O(1)就足够：

int max_sum(const vector<int>& arr)
{
int n=arr.size();
int nAll=arr[n-1];
int nStart=arr[n-1];

for(int i=n-2; i>=0; i--)
{
nStart=max_num(arr[i],arr[i]+nStart);
nAll=max_num(start[i],nAll);
}
return nAll;
}