LIS算法(最长上升子序列)

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升（不下降）子序列，有两种算法复杂度为O(n*logn)和O(n^2)。在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D1..Dlen查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来算法相比没有任何进步。但是由于D的特点(2)，在D中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题。

　有两种算法复杂度为O(n*logn)和O(n^2)

O(n^2)算法分析如下

　　（a[1]...a
存的都是输入的数）

　　1、对于a
来说，由于它是最后一个数，所以当从a
开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；

　　2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：

　　（1）若a[n-1] < a
则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a
.

　　（2）若a[n-1] > a
则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a
。

　　3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：

　　在a[t+1],a[t+2],...a
中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。

　　4、为算法上的需要，定义一个数组：

　　d:array [1..n,1..3] of integer;

　　d[t,1]表示a[t]

　　d[t,2]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度

　　d[t,3]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置

最长不下降子序列的O(n*logn)算法

　　先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。

　　现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足

　　(1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y]

　　此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

　　很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

　　再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D
。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有D[j] < A[t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

　　在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

　　这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

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