HDU 4370 0 or 1（12年多校by uestc 0/1规划，最短路）

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by---cxlove

题目：一个只含0，1的矩阵

1.X12+X13+...X1n=1

2.X1n+X2n+...Xn-1n=1

3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).

另外一个矩阵，两个矩阵相乘最小

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
#define inf 1<<27
#define N 105
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define pb(a) push_back(a)
#define LL long long
using namespace std;
int n,path[305][305];
int dist[305],vis[305];
void Spfa(int s){
    queue<int>que;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i==s) dist[i]=inf;
        else{
            dist[i]=path[s][i];
            que.push(i);
            vis[i]=1;
        }
    }
    while(!que.empty()){
        int u=que.front();
        que.pop();
        vis[u]=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(dist[i]>dist[u]+path[u][i]){
                dist[i]=dist[u]+path[u][i];
                if(!vis[i]){
                    vis[i]=1;
                    que.push(i);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&path[i][j]);
        int ans,c1,c2;
        Spfa(0);
        ans=dist[n-1];
        c1=dist[0];
        Spfa(n-1);
        c2=dist[n-1];
        printf("%d\n",min(ans,c1+c2));
    }
    return 0;
}