计数排序，基数排序和桶排序

计数排序，基数排序，桶排序等非比较排序算法，平均时间复杂度都是O(n)。这些排序因为其待排序元素本身就含有了定位特征，因而不需要比较就可以确定其前后位置，从而可以突破比较排序算法时间复杂度O(nlgn)的理论下限。

计数排序(Counting sort)

计数排序(Counting sort)是一种稳定的排序算法。计数排序是最简单的特例，由于用来计数的数组C的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存，适用性不高。例如：计数排序是用来排序0到100之间的数字的最好的算法，但是它不适合按字母顺序排序人名。但是，计数排序可以用在基数排序中的算法来排序数据范围很大的数组。当输入的元素是 n 个 0 到 k 之间的整数时，它的运行时间是 Θ(n + k)。

假定输入是个数组A【1...n】， length【A】=n。 另外还需要一个存放排序结果的数组B【1...n】，以及提供临时存储区的C【0...k】(k是所有元素中最大的一个)。算法伪代码：





算法的步骤如下：

找出待排序的数组中最大和最小的元素

统计数组中每个值为t的元素出现的次数，存入数组C的第t项

对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）

反向填充目标数组：将每个元素t放在新数组的第C(t)项，每放一个元素就将C(t)减去1

算法实现：

/*

*算法的步骤如下：

1、找出待排序的数组中最大和最小的元素

2、统计数组中每个值为t的元素出现的次数，存入数组C的第t项

3、对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）

4、反向填充目标数组：将每个元素t放在新数组的第C(t)项，每放一个元素就将C(t)减去1

* */

public class CountingSort {

// 类似bitmap排序

public static void countSort(int[] a, int[] b, final int k) {

// k>=n

int[] c = new int[k + 1];

for (int i = 0; i < k; i++) {

c[i] = 0;

}

for (int i = 0; i < a.length; i++) {

c[a[i]]++;

}

System.out.println("\n****************");

System.out.println("计数排序第2步后,临时数组C变为：");

for (int m:c) {

System.out.print(m + " ");

}

for (int i = 1; i <= k; i++) {

c[i] += c[i - 1];

}

System.out.println("\n计数排序第3步后,临时数组C变为：");

for (int m:c) {

System.out.print(m + " ");

}

for (int i = a.length - 1; i >= 0; i--) {

b[c[a[i]] - 1] = a[i];//C[A[i]]-1 就代表小于等于元素A[i]的元素个数，就是A[i]在B的位置

c[a[i]]--;

}

System.out.println("\n计数排序第4步后,临时数组C变为：");

for (int n:c) {

System.out.print(n + " ");

}

System.out.println("\n计数排序第4步后,数组B变为：");

for (int t:b) {

System.out.print(t + " ");

}

System.out.println();

System.out.println("****************\n");

}

 public static int getMaxNumber(int[] a) {

int max = 0;

for (int i = 0; i < a.length; i++) {

if (max < a[i]) {

max = a[i];

}

}

return max;

}

 public static void main(String[] args) {

int[] a = new int[] { 2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3};

int[] b = new int[a.length];

System.out.println("计数排序前为：");

for (int i = 0; i < a.length; i++) {

System.out.print(a[i] + " ");

}

System.out.println();

countSort(a, b, getMaxNumber(a));

System.out.println("计数排序后为：");

for (int i = 0; i < a.length; i++) {

System.out.print(b[i] + " ");

}

System.out.println();

}

}

基数排序(radix sorting)

基数排序（radix sorting）将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。 然后 从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后， 数列就变成一个有序序列。具体过程可以参考动画演示。

假设我们有一些二元组(a,b)，要对它们进行以a为首要关键字，b的次要关键字的排序。我们可以先把它们先按照首要关键字排序，分成首要关键字相同的若干堆。然后，在按照次要关键值分别对每一堆进行单独排序。最后再把这些堆串连到一起，使首要关键字较小的一堆排在上面。按这种方式的基数排序称为MSD(Most Significant Dight)排序。第二种方式是从最低有效关键字开始排序，称为LSD(Least Significant Dight)排序。首先对所有的数据按照次要关键字排序，然后对所有的数据按照首要关键字排序。要注意的是，使用的排序算法必须是稳定的，否则就会取消前一次排序的结果。由于不需要分堆对每堆单独排序，LSD方法往往比MSD简单而开销小。下文介绍的方法全部是基于LSD的。

基数排序的简单描述就是将数字拆分为个位十位百位，每个位依次排序。因为这对算法稳定要求高，所以我们对数位排序用到上一个排序方法计数排序。因为基数排序要经过d (数据长度)次排序， 每次使用计数排序， 计数排序的复杂度为 On),d 相当于常量和N无关，所以基数排序也是 O(n)。基数排序虽然是线性复杂度， 即对n个数字处理了n次，但是每一次代价都比较高， 而且使用计数排序的基数排序不能进行原地排序，需要更多的内存， 并且快速排序可能更好地利用硬件的缓存， 所以比较起来，像快速排序这些原地排序算法更可取。对于一个位数有限的十进制数，我们可以把它看作一个多元组，从高位到低位关键字重要程度依次递减。[b]可以使用基数排序对一些位数有限的十进制数排序。[/b]

例如我们将一个三位数分成，个位，十位，百位三部分。我们要对七个三位数来进行排序，依次对其个位，十位，百位进行排序，如下图：



很显然，每一位的数的大小都在[0，9]中，对于每一位的排序用计数排序再适合不过。

算法实现：

// 基数排序：稳定排序

public class RadixSorting {

 // d为数据长度

 private static void radixSorting(int[] arr, int d) {

//arr = countingSort(arr, 0);

for (int i = 0; i < d; i++) {

arr = countingSort(arr, i); // 依次对各位数字排序（直接用计数排序的变体）

print(arr,i+1,d);

}

}

 // 把每次按位排序的结果打印出来

 static void print(int[] arr,int k,int d)

 {

if(k==d)

System.out.println("最终排序结果为：");

else

System.out.println("按第"+k+"位排序后，结果为：");

for (int t : arr) {

System.out.print(t + " ");

}

System.out.println();

}

 // 利用计数排序对元素的每一位进行排序

 private static int[] countingSort(int[] arr, int index) {

int k = 9;

int[] b = new int[arr.length];

int[] c = new int[k + 1]; //这里比较特殊：数的每一位最大数为9

for (int i = 0; i < k; i++) {

c[i] = 0;

}

for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

int d = getBitData(arr[i], index);

c[d]++;

}

for (int i = 1; i <= k; i++) {

c[i] += c[i - 1];

}

for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {

int d = getBitData(arr[i], index);

b[c[d] - 1] = arr[i];//C[d]-1 就代表小于等于元素d的元素个数，就是d在B的位置

c[d]--;

}

return b;

}

 // 获取data指定位的数

 private static int getBitData(int data, int index) {

while (data != 0 && index > 0) {

data /= 10;

index--;

}

return data % 10;

}

 public static void main(String[] args) {

// TODO Auto-generated method stub

int[] arr = new int[] {326,453,608,835,751,435,704,690,88,79,79};//{ 333, 956, 175, 345, 212, 542, 99, 87};

System.out.println("基数排序前为：");

for (int t : arr) {

System.out.print(t + " ");

}

System.out.println();

radixSorting(arr, 4);

}

}

桶排序（Bucket Sort）

首先定义桶，桶为一个数据容器，每个桶存储一个区间内的数。依然有一个待排序的整数序列A，元素的最小值不小于0，最大值不超过K。假设我们有M个桶，第i个桶Bucket[i]存储i*K/M至(i+1)*K/M之间的数。桶排序步骤如下：

扫描序列A，根据每个元素的值所属的区间，放入指定的桶中(顺序放置)。

对每个桶中的元素进行排序，什么排序算法都可以，例如插入排序。

依次收集每个桶中的元素，顺序放置到输出序列中。

具体过程可以参考动画演示。

算法伪代码为：





具体代码：

// 桶排序

public class BucketSort {

 // 插入排序

 static void insertSort(int[] a) {

int n = a.length;

for (int i = 1; i < n; i++) {

int p = a[i];

insert(a, i, p);

}

}

 static void insert(int[] a, int index, int x) {

// 元素插入数组a[0:index-1]

int i;

for (i = index - 1; i >= 0 && x < a[i]; i--) {

a[i + 1] = a[i];

}

a[i + 1] = x;

}

 private static void bucketSort(int[] a) {

int M = 10; // 11个桶

int n = a.length;

int[] bucketA = new int[M]; // 用于存放每个桶中的元素个数

// 构造一个二维数组b，用来存放A中的数据,这里的B相当于很多桶，B[i][]代表第i个桶

int[][] b = new int[M]
;

int i, j;

for (i = 0; i < M; i++)

for (j = 0; j < n; j++)

b[i][j] = 0;

int data, bucket;

for (i = 0; i < n; i++) {

data = a[i];

bucket = data / 10;

b[bucket][bucketA[bucket]] = a[i];// B[0][]中存放A中进行A[i]/10运算后高位为0的数据，同理B[1][]存放高位为1的数据

bucketA[bucket]++;// 用来计数二维数组中列中数据的个数，也就是桶A[i]中存放数据的个数

}

System.out.println("每个桶内元素个数：");

for (i = 0; i < M; i++) {

System.out.print(bucketA[i] + " ");

}

System.out.println();

System.out.println("数据插入桶后，桶内未进行排序前的结果为：");

for (i = 0; i < M; i++) {

for (j = 0; j < n; j++)

System.out.print(b[i][j] + " ");

System.out.println();

}

System.out.println("对每个桶进行插入排序，结果为：");

// 下面使用直接插入排序对这个二维数组进行排序,也就是对每个桶进行排序

for (i = 0; i < M; i++) {

// 下面是对具有数据的一列进行直接插入排序，也就是对B[i][]这个桶中的数据进行排序

if (bucketA[i] != 0) {

// 插入排序

for (j = 1; j < bucketA[i]; j++) {

 int p = b[i][j];

 int k;

 for (k = j - 1; k >= 0 && p < b[i][k]; k--)

 {

 assert k==-1;

 b[i][k + 1] = b[i][k];

}

 b[i][k + 1] = p;

}

}

}

// 输出排序过后的顺序

for (i = 0; i < 10; i++) {

if (bucketA[i] != 0) {

for (j = 0; j < bucketA[i]; j++) {

 System.out.print(b[i][j] + " ");

}

}

}

}

/**

* @param args

*/

 public static void main(String[] args) {

// TODO Auto-generated method stub

int[] arr = new int[] {3,5,45,34,2,78,67,34,56,98};

bucketSort(arr);

}

}

三种线性排序的比较

排序算法	时间复杂度	空间复杂度
计数排序	O(N+K)	O(N+K)	稳定排序
基数排序	O(N)	O(N)	稳定排序
桶排序	O(N+K)	O(N+K)	稳定排序

从整体上来说，计数排序，桶排序都是非基于比较的排序算法，而其时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的开销和数据的分布。而基数排序是一种对多元组排序的有效方法，具体实现要用到计数排序或桶排序。

相对于快速排序、堆排序等基于比较的排序算法，计数排序、桶排序和基数排序限制较多，不如快速排序、堆排序等算法灵活性好。但反过来讲，这三种线性排序算法之所以能够达到线性时间，是因为充分利用了待排序数据的特性，如果生硬得使用快速排序、堆排序等算法，就相当于浪费了这些特性，因而达不到更高的效率。

参考资料

/article/6348221.html

http://www.byvoid.com/blog/sort-radix/