DP专题1 POJ 1163 The Triangle

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                                                                                                                                                  The Triangle

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Description

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

(Figure 1)

Figure 1 shows a number triangle. Write a program that calculates the highest sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends somewhere on the base. Each step can go either diagonally down to the left or diagonally down to the right.

Input
Your program is to read from standard input. The first line contains one integer N: the number of rows in the triangle. The following N lines describe the data of the triangle. The number of rows in the triangle is > 1 but <= 100.
The numbers in the triangle, all integers, are between 0 and 99.
Output
Your program is to write to standard output. The highest sum is written as an integer.
Sample Input

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

Source
IOI 1994
 

 

    题目大意： 给定一个由数字组成的三角形，第i行有i个数字，每个数字可以到达它的左下和右下的数字。求从第一个数字出发到最后一行，把沿途的数字加起来，求总和最大的走法。

    初看这题，似乎可以用回溯的方法求出每一条可能的路线，然后比较总和。但是需要注意的是，这种算法的复杂度为2^n，n为行数。这样的耗时显然是不成立的。

    动态规划的算法设计可以分为下面4个步骤：

    第一、描述最优解的结构

    第二、递归定义最优解的值

    第三、按自底向上的方式计算最优解的值

    第四、由计算出的结果构造一个最优解的值

    （这四个步骤摘自《算法导论》）

    首先，最优解的结构我们已经清楚了，即一条路径，从第一层到最后一层。现在要做的是递归定义最优解的值，在此，我们先定义一个状态max[i][j]表示从1,1出发到达（i,j）的最大路径，那么max
[j]就是最后一行的第j列的最大值，遍历第n行的n个值取最大值即是我们要求的答案。其次是递归定义最优解的值，在这里我们需要注意的是DP问题中的效率问题，尽量少用递归求解。因为递归是一个耗时的事情， 它进行了很多重复的搜索，比如每次求一个值，它都会重复计算上一个值的子问题，所以，最好的解决办法就是记忆化搜索。

    注意到(i,j)只能由（i-1,j）和（i-1,j-1），j = 2…… 则状态方程： max[i][j] = max {max[i-1][j]+input[i][j],max[i-1][j-1]+input[i][j]}

    除了第一行和第二行需要初始化处理（事实上第二行也不需要额外处理），后续的都可以记忆化搜索的方式解出。

    到计算到第n行时，遍历取最大值即可。

    代码如下：

/*

Memory: 480 KB   Time: 16 MS
Language: GCC   Result: Accepted

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*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int input[110][110];
int max[110][110];
int main()
{
int n , i , j;
int p , q , flag;
scanf("%d",&n);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++)
for(j = 1 ; j <= i ; j ++)
scanf("%d",&input[i][j]);
max[1][1] = input[1][1];
max[2][1] = input[1][1] + input[2][1];
max[2][2] = input[1][1] + input[2][2];
for(i = 2 ; i <= n ; i ++)
for(j = 1 ; j <= i ; j ++)
{
p = max[i-1][j-1] + input[i][j];
q = max[i-1][j] + input[i][j];
if(p > q)
max[i][j] = p;
else
max[i][j] = q;
}
flag = max
[1];
for(i = 2 ; i <=n ; i ++)
if(max
[i] > flag) flag = max
[i];
printf("%d",flag);
return 0;
}