MATLAB稀疏矩阵

1.1.1矩阵存储方式
MATLAB的矩阵有两种存储方式，完全存储方式和稀疏存储方式

1.完全存储方式

将矩阵的全部元素按列存储，矩阵中的全部零元素也存储到矩阵中。

2.稀疏存储方式

仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置，即行号和列号，显然这对于具有大量零元素的稀疏矩阵来说是十分有效的。

设

      1 0 0 0

A= 0 5 0 0

      2 0 0 7

是具有稀疏矩阵特征的矩阵，其完全存储方式是按列存储的全部12个元素

1，0，2，0，5，0，0，0，0，0，0，7

其稀疏存储方式如下：

（1，1），1，（3，1），2，（2，2），5，（3，4），7

括号内为元素的行列位置，后面为元素值。

当矩阵非常的“稀疏”时，会有效的节省存储空间。

1.1.2稀疏存储方式的产生

1.将完全存储方式转化为稀疏存储方式

A=sparse(S);将S矩阵转换为稀疏矩阵A;

sparse(m,n);产生m*n的所有元素都为0的稀疏矩阵

sparse(u,v,S);S为建立系数矩阵的非零元素，u(i),v(i)分别为S(i)的行和列下标，S,u,v为等长向量。

[u,v,S]=find(A);返回矩阵A中非零元素的下标和元素，返回值可以作为sparse(u,v,S);的参数

full(A);返回和稀疏存储方式A对应的完全存储方式。

例如

X=[2,0,0,0,0;0,0,0,0,0;0,0,0,5,0;0,1,0,0,-1;0,0,0,0,-5]

A=sparse(X)

A=

     (1,1)    2

     (4,2)    1

     (3,4)    5

     (4,5)    -1

     (5,5)    -5

A就是X的稀疏存储方式。

2.产生稀疏存储矩阵

sparse可以讲完全存储方式转换为稀疏存储方式，那么，当使用稀疏矩阵时，要先产生完全存储方式的矩阵，然后再转换，这显然是不可取的，MATLAB有自己产生稀疏矩阵的函数spconvert：

B=spconvert(A);A为一个m*3或m*4的矩阵，A的每一列的意义分别为：

（i，1）第i非零元素所在行

（i，2）第i非零元素所在列

（i，3）第i非零元素的实部

（i，4）第i非零元素的虚部

3.带状（对角）稀疏矩阵

函数 spdiags

格式 [B,d] = spdiags(A) %从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置。

B = spdiags(A,d)     %从A中提取由d指定的对角线元素，并存放在B中。

A = spdiags(B,d,A) %用B中的列替换A中由d指定的对角线元素，输出稀疏矩阵。

A = spdiags(B,d,m,n) %产生一个m×n稀疏矩阵A，其元素是B中的列元素放

在由d指定的对角线位置上。

例1

>>A = [11   0    13    0

            0    22    0    24

            0    0     33    0

           41   0      0    44

           0    52    0     0

           0    0     63   0

            0   0      0    74];

>>[B,d] = spdiags(A)

B =

    41    11     0

    52    22    0

    63    33    13

    74    44    24

d =

    -3      %表示B的第1列元素在A中主对角线下方第3条对角线上

     0      %表示B的第2列在A的主对角线上

     2      %表示B的第3列在A的主对角线上方第2条对角线上

例1

>> B=[1 2 3 4

      5 6 7 8

      9 10 11 12

      13 14 15 16];

>> d=[-2 0 1 3];

>> A=spdiags(B,d,4,4);

>> full(A)

ans =

     2     7     0    16

     0     6    11     0

     1     0    10    15

     0     5     0    14

4.单位矩阵的稀疏矩阵

speye(m,n);产生m*n的稀疏存储单位阵。

遍历

>> A = [0 1 0; 2 0 0; 1 0 1]

A =

0 1 0

2 0 0

1 0 1

>> B = sparse(A)

B =

(2,1) 2

(3,1) 1

(1,2) 1

(3,3) 1

>> C = find(B)

C =

2

3

4

9

>>

for i = C

B(i)

end

ans =

(1,1) 2

(2,1) 1

(3,1) 1

(4,1) 1