O(n)时间的排序---计数排序

题目：某公司有几万名员工，请完成一个时间复杂度为O(n)的算法对该公司员工的年龄作排序，可使用O(1)的辅助空间。

分析：排序是面试时经常被提及的一类题目，我们也熟悉其中很多种算法，诸如插入排序、归并排序、冒泡排序，快速排序等等。这些排序的算法，要么是O(n2)的，要么是O(nlogn)的。可是这道题竟然要求是O(n)的，这里面到底有什么玄机呢？

题目特别强调是对一个公司的员工的年龄作排序。员工的数目虽然有几万人，但这几万员工的年龄却只有几十种可能。上班早的人一般也要等到将近二十岁才上班，一般人再晚到了六七十岁也不得不退休。

由于年龄总共只有几十种可能，我们可以很方便地统计出每一个年龄里有多少名员工。举个简单的例子，假设总共有5个员工，他们的年龄分别是25、24、26、24、25。我们统计出他们的年龄，24岁的有两个，25岁的也有两个，26岁的一个。那么我们根据年龄排序的结果就是：24、24、25、25、26，即在表示年龄的数组里写出两个24、两个25和一个26。

想明白了这种思路，我们就可以写出如下代码：

void SortAges(int ages[], int length)
{

if(ages == NULL || length <= 0)

return;

const int oldestAge = 99;

int timesOfAge[oldestAge + 1];

for(int i = 0; i <= oldestAge; ++ i)

timesOfAge[i] = 0;

for(int i = 0; i < length; ++ i)
{

int age = ages[i];

if(age < 0 || age > oldestAge)

throw new std::exception("age out of range.");

++ timesOfAge[age];

}

int index = 0;

for(int i = 0; i <= oldestAge; ++ i)
{

for(int j = 0; j < timesOfAge[i]; ++ j)

{

ages[index] = i;

++ index;

}

}

}

在上面的代码中，允许的范围是0到99岁。数组timesOfAge用来统计每个年龄出现的次数。某个年龄出现了多少次，就在数组ages里设置几次该年龄。这样就相当于给数组ages排序了。该方法用长度100的整数数组辅助空间换来了O(n)的时间效率。由于不管对多少人的年龄作排序，辅助数组的长度是固定的100个整数，因此它的空间复杂度是个常数，即O(1)。

以上转自何海涛博客

《算法导论》中文版第八章第二节 计数排序 里面有关于这个算法的详细讲解。根据算法导论所说，计数排序的一个重要特性就是它的稳定性，上面的算法似乎没有体现出来。根据《算法导论》，我用c++实现了书上的例子。

#include <iostream>

using namespace std;

void CountingSort(int ages[], int len, int out[], int range)
{
int *count = new int[range+1];

for(int i=0;i<=range;++i)
{
count[i]=0;
}

for(int i=0;i<len;++i)
{
count[ages[i]]++;
}

for(int i=1;i<=range;++i)
{
count[i] += count[i-1];
}

for (int i=len-1;i>=0;--i)
{
out[count[ages[i]]-1] = ages[i];
count[ages[i]]--;
}

}

int main()
{
const int age_range = 99;

int a[] = {2,5,3,0,2,3,0,3};
int b[8];

CountingSort(a,8,b,age_range);

for(int i=0;i<8;i++)
{
cout << b[i] << "\t";
}

cout << endl;

system("pause");

return 0;
}