分治法 divide and conquer

分治算法包含以下步骤：

1、分（divide）：将一个大问题分解成若干个子问题，每个子问题的问题规模n更小了，这样就有了好几个待解决的子问题。

2、治（conquer）:递归的去解决每个子问题。

3、结合（combine）:将每个子问题的解合并成整个大问题的解。

以归并排序（Merge Sort）为例

1、分：将待排序的数组一分为二，该步骤仅花费常数时间

2、治：递归的对每一个子数组进行排序

3、合：将排好序的数组合并起来，该步骤时间花费为O(n)

这样就得到归并排序的时间复杂度递归式：T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(nlogn) （求解该递归式参考 如何求解递归式）

二分查找算法（binary search）

二分查找算法的目的是在一个已经排好序的数组中查找一个数x，同样用到了分治策略

1、分：将x与数组的中间元素相比较,时间花费为O(1)

2、治：通过“分”的步骤，得到x所在的子数组序列，于是在该子数组中递归

3、合：nothing

时间复杂度T(n)=T(n/2)+O(1)=O(logn)。这是一个很牛逼的算法，我们知道1K=210，1M=220,1G=230，这就意味着在一千个数中查找一个数，仅需要比较10次，在一百万个数中查找一个数，仅需要比较20次，在10亿个数中查找一个数，仅需要比较30次。

乘方问题（powering a number）

该问题是给定一个数x和一个正整数n，计算x的n次方。朴素算法很简单，就把x乘以n次就可以了，时间复杂度为O(n)，现在尝试用分治策略解决该问题。

xn=xn/2*xn/2 如果n是偶数的话，或者xn=x(n-1)/2*x(n-1)/2*x 如果n为奇数的话，这样就将规模为n的问题分解为规模为n/2的问题

1、分：将n次方转换为求[n/2]次方

2、治：递归的求[n/2]次方

3、合：将得到的结果合并为n次方

时间复杂度为T(n)=T(n/2)+O(1)=O(logn) ， 对于连乘问题这是最快的方式了。

斐波那契数（Fibonacci numbers）

斐波那契数的定义是：

F0=0

F1=1

Fn=Fn-1+Fn-2

斐波那契数无处不在，当你看到某种水果时，数每次铃声的振动次数时等等，具体可参考“人类文明的斐波那契演进”

朴素算法就是一个递归算法，具体可参考 斐波那契维基百科 那是一个指数级别的算法，时间复杂度为O(xn)，其中x是黄金分割数

指数级的算法是个悲剧，多项式的时间才是好的

一种解决办法是自下而上的处理，注意到当计算n-1的斐波那契函数时，n-2的斐波那契数被重复计算了，事实上只需要计算一次就够了

于是，缓存计算过的F0,F1,F2,F3……Fk，这样求Fn的时候只需要将已经求好的前两项相加就可以了，这样运行时间就是线性的T(n)=O(n)，但这并不是最好的

另一种解决方法是可以求得斐波那契数的通项公式，参考维基百科，可以看到那是一个求x的n次方的问题，于是正好可以利用上面求乘方问题的分治算法。不过这种计算是不精确的，浮点数的计算有精度问题，用该方法计算的时候很可能丢失一些重要的位。

还有一种算法用到了矩阵的乘法，即平方递归算法

有如下定理：


（后面是矩阵的n次方）

该定理可以用数学归纳法证明，证明过程很简单。这样该问题又变成一个乘方问题，乘法变成了矩阵的乘法，时间复杂度变成了T(n)=O(logn)

矩阵乘法（Matrix Multiplication）

有两个 n行 n列的矩阵方阵A[ai,j],B[bi,j] ， 求C[ci,j]=AB , ci,j=Σ ai,kbk,j

简单的方法是直接求每个ci,j，用时O(n)，共有n2个项需要求，总的用时就是O(n3)，现在用分治法求矩阵乘法

第一种分治策略是用分块矩阵的乘法

将一个n*n的矩阵分成一个2*2的分块矩阵，每个矩阵块儿都是一个n/2*n/2的子矩阵

假设将C分解成r,s,t,u的四块，A分解成a,b,c,d的四块，B分解成e,f,g,h的四块，那么根据矩阵的乘法

r = ae+bg

s = af+bh

t = ce+dg

u = cf+dh

其中的乘法都是矩阵的乘法，每个矩阵的乘法又可以递归的分解成分块矩阵的乘法，总共分解出8个子矩阵的乘法，然后是4个矩阵的加法，矩阵加法的时间复杂度是n2，矩阵加法不是递归的，那么T(n)=8T(n/2)+n2 , 根据求解递归式中的主方法1可得到T(n)=O(n3) , 时间复杂度没有降下来？囧，看来该方法不行。

再来看另一种分治策略：斯特拉森算法

该算法的关键思路是减少乘法的次数，即对于上面的递归式，将8次乘法降低为7次，即通过7次乘法就能得到他们的乘机，神奇！

参考http://book.51cto.com/art/201008/220275.htm

时间复杂度分析：

1、分：将A和B进行分块分解，然后计算一些加减法，时间花费为O(n2)

2、治：用递归的方法计算p1-p7中的乘积

3、和：将这些计算组合起来得到c1-c4，时间花费为O(n2)

T(n) = 7T(n/2)+O(n2) 属于主方法中的方法1，得到T(n)约等于O(n2.81)，比立方级的算法好了一点，但也不是最好的。目前已知最好的矩阵乘法算法的时间复杂度大约是O(n2.376)，不过该算法只是纯理论上的改进，还无法投入实用。