插入排序InsertSort的三种实现方式及循环不变式的使用

一、循环不变式的概念：

在循环结构设计中，核心设计就是找到循环结构中循环不变式（loop  invariant)；

方法是找中间的一个普通循环迭代，同时保证满足边界条件（edge case）。

循环不变式满足的三个条件：

1. 初始化： 在初始化状态下，循环不变式保持某种性质。

2.保持性： 循环不变式的性质，在迭代的同时能够保持。

3.终止性： 循环不变式终止时，能够保证某种状态成立。

二、插入排序 (InsertSort)

插入排序：使用一种增量（incremental）求解的方法，在排好序的数组a[0...j-1]中，将元素a[j]插入，形成有序数组a[0...j];

插入排序算法具有循环不变式的性质：

1. 初始化： 仅有一个元素的数组a[0] ,是个排好序的数组。

2. 保持：排好序的数组a[0...j-1], 插入元素a[j]，形成新的有序数组a[0...j].

3, 终止： a[0...len] 形成一个有序数组。 目的达到。

下面给出插入排序（insertSort）的三种实现方式, 均采用就地排序（sort  in place）的方式：

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void printArray(int* a, int len);
int binarySearch(int* a, int low, int high, int key);
int modifiedBinarySearch(int* a, int low, int high, int key);
int selectLocate(int* a, int len, int key);
void insertSort(int * a, int len);
void locateInsertSort(int* a, int len);
void binarySearchInsertSort(int *a, int len);

int main(int argc, char* argv[]) {
int a[9] = {5,4,3,3,3,3,2,1,3};
int len =9;

//insertSort(a, len);
//locateInsertSort(a, len);
binarySearchInsertSort(a, len);
printArray(a, len);

return 0;
}

void printArray(int* a, int len) {
int i;

for(i=0; i<len; i++) {
printf("%d\t", *(a+i));
}

printf("\n");
}

void insertSort(int * a, int len) {
int i;
int j;

int key;

for(i=0; i<len-1; i++) {

key= a[i+1];
for(j=i; j>=0 && key<a[j]; j--) {
a[j+1] = a[j];
}
if(j!=i) {
a[j+1] = key;
}

}

}

void locateInsertSort(int *a, int len) {
int i;
int j;
int k;
int key;

for(i=0; i<len-1; i++) {
key = a[i+1];
k = selectLocate(a, i+1, key);
for(j=i; j>=k; j--) {
a[j+1] = a[j];
}
if(k<=i) a[k] = key;
}

}

void binarySearchInsertSort(int *a, int len) {
int i;
int j;
int k;
int key;

for(i=0; i<len-1; i++) {
key = a[i+1];
k = modifiedBinarySearch(a, 0, i, key);
for(j=i; j>=k; j--) {
a[j+1] = a[j];
}
if(k<=i) a[k] = key;
}

}

int selectLocate(int* a, int len, int key) {
int i;
for(i=len-1; i>=0 && key<a[i]; i--);

return i+1;
}

int binarySearch(int *a, int low, int high, int key) {
int mid;

while(low <= high) {
mid = (low + high) >> 1;

if(key<a[mid]) {
high = mid -1;
}
else if(key>a[mid]) {
low = mid + 1;
}
else {
return mid;
}

}

return -1;
}

int modifiedBinarySearch(int *a, int low, int high, int key) {
int mid;
int top = high;
int bottom = low;

while(low <= high) {
mid = (low + high) >> 1;

if(key<a[mid]) {
high = mid -1;
}
else if(key>a[mid]) {
low = mid + 1;
}
else {
break;
}

}
/*
if(low<=high) {
while(mid<=top && a[mid]==key) mid++;
return mid;
}
*/

if(key>=a[mid]) {
while(mid<=top && key>a[mid]) mid++;
return mid;
}

if(key<a[mid]) {
while(mid>=bottom && key<a[mid]) mid--;
return mid+1;
}

}



三、总结，以上算法的实现参考了《算法导论》中的第二章。并对习题中将折半查找算法整合到insertSort中。