动态规划法之投资问题_算法分析与设计

算法分析与设计之动态规划法

——投资问题

一 问题描述：投资问题就是考虑如何把有限资源分配给若干个工程的问题。

二 给定条件：1.资源总数（设为a）

2.工程个数（设为n）

3.每项工程投资的利润（不同数目的投资所获得的利润不同），用向量Gi (1≦i≦n)表示。

n

三 问题求解：求出一个a的分划x1 , x2 ,…..,
xn ,0≦xi≦a,
且∑xi≦a,使得以下式表示的利润为最大：

i=1

n

G(a)= ∑Gi (xj )
0≦xj≦a

i=1

其中Gi (xj )是把资源xj分配给第I项工程能获得的最大利润。

四 问题分析：

i）若Gi是x的线性函数，则为线性规划问题。

ii）若Gi不是线性函数，则要用动态规划求最佳分配。

用总量为a的资金在n个项目上进行投资以取得最大的利润，可以转化为下述的问题：

将总量资金a分为两部分z(0≦z≦a)及a-z，分别用在第n个项目及剩下的n-1个项目上进行投资，获得的最大利润G(a)=max(第n个项目上资金量为z的利润与用a-z的资金在n-1个项目上投资的最大利润之和)。这样问题就转化为”求用a-z的资金在n-1个项目上投资的最大利润”，与我们的原问题”
求总量为a的资金在n个项目上进行投资以取得最大的利润”性质完全一致，仅仅是问题的规模比原问题少了一个项目，如此将问题的规模细化下去，一直到项目数为1为止，则问题迎刃而解。我们在对原问题进行”分而治之”的过程当中，最终实现了最优化的求解。

五 问题解决方案：

设fi (x)：前i个项目共投资资金x所产生的最大利润；di
(x)：产生fi (x)在项目i上的资金数。

由上分析可给出投资问题的动态规划函数方程：

f1 (x)= G1 (x);

d1 (x)=x x=0,1……a

fi (x)=max[Gi (z)+ fi-1 (x-z)]
z=0,1……x; x=0,1……a

di (x)=产生fi (x)的z值
i=2,3…..n;

六 问题举例：

设有8（万元）的投资可分给3个项目，每个项目的利润函数如下表（一）所示：

表（一）利润函数表

x	0 1 2 3 4 5 6 7 8
G1 (x) G2 (x) G3 (x)	0 5 15 40 80 90 95 98 100 0 5 15 40 60 70 73 74 75 0 4 26 40 45 50 51 52 53

x	0 1 2 3 4 5 6 7 8
G1 (x) G2 (x) G3 (x)	0 5 15 40 80 90 95 98 100 0 5 15 40 60 70 73 74 75 0 4 26 40 45 50 51 52 53

解题步骤：

第1步：设项目1是可用于投资的唯一项目，把x万元投资到项目1，利润为

f1 (x)= G1 (x)

这就得到表（二）的最后一行的值，投资到项目1的最优数量为

d1 (x)=x x=0,1……8；

第二步：设资金8万元可投资到项目1和项目2。由第1步已知任意数量的资源投资到项目1所产生的最优，所以下到各种和式中的最大值就是目前情况下的最大利润：

G2 (0)+ f1 (8)=0+100=100
G2 (1)+ f1 (7)=5+98=103

G2 (2)+ f1 (6)=15+95=110
G2 (3)+ f1 (5)=40+90=130

G2 (4)+ f1 (4)=80+60=140
G2 (5)+ f1 (3)=70+40=110

G2 (6)+ f1 (2)=73+15=88
G2 (7)+ f1 (1)=74+5=79

G2 (8)+ f1 (0)=75+0=75

可见将8万元投资于项目1和2
，所能获得的最大利润f2 (8)及投资到项目2的最优数量分别为：

f2 (8)=max[G2 (z)+ f1 (8-z)]=140
z=0,1……8

d2 (8)=4；

第三步：假设以任意x(≠8)万元投资到项目1和2，对每个x值，计算从项目1和2所产生的最优利润，即：

f2 (x)=max[G2 (z)+ f1 (x-z)]
z=0,1……x;

投资到项目2的数量为

d2 (x)=产生f2 (x)的z值。

得到所表（二）的结果。

第四步：将8万元投资于3个项目，这就是原问题。则f3 (8)应取下述各量的最大值：

G3 (0)+ f2 (8)=0+140=140
G3 (1)+ f2 (7)=4+120=124

G3 (2)+ f2 (6)=26+96=126
G3 (3)+ f2 (5)=40+90=130

G3 (4)+ f2 (4)=45+80=125
G3 (5)+ f2 (3)=50+40=90

G3 (6)+ f2 (2)=51+15=66
G3 (7)+ f2 (1)=52+5=57

G3 (8)+ f2 (0)=53+0=53

因此将8万元以最优方式投资到3个项目时所获得的最大利润及投资到项目3的分别为：

f3 (8) =G3 (0)+ f2 (8)=140

d3 (8)=0；

表（二）向项目1，2投资所到的利润表

x	0 1 2 3 4 5 6 7 8
f1 (x) d1 (x) f2 (x) d2 (x)	0 5 15 40 80 90 95 98 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 5 15 40 80 90 95 120 140 0 1 2 3 0 0 0 3 4

x	0 1 2 3 4 5 6 7 8
f1 (x) d1 (x) f2 (x) d2 (x)	0 5 15 40 80 90 95 98 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 5 15 40 80 90 95 120 140 0 1 2 3 0 0 0 3 4

因为d3 (8)=0；故剩下8万元要最优的投资到项目1和2中。由表（二）易知，当项目1和2
可用时，d2 (8)=4表示投资到项目2的最优数量，因此项目1应投资剩下的4万元。