数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）

集合（Set）

定义：集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。

数环（number ring）

定义：设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是一个数环。

例如整数集Z就是一个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。

性质：

1. 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）。

2. 设S是一个数环。若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。

3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。

数域（number field）

定义1：设F是一个数环，如果对任意的a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F；则称F是一个数域。

定义2：设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是一个数域。

例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。

性质：任何数域都包含有理数域Q。

线性空间（linear space）

　　简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。（个人理解就是可加性和齐次性）

　　定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．

1. V对加法满足：

（1）（交换律）x+y=y+x；

（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)

（3）（零元素）在V中有一元素θ，对于V中任一元素x都有x+θ=x；

（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；

2. 数量乘法满足：

（5）（1乘律）1x=x；

（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；

3. 数量乘法和加法满足：

（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；

（8）（数因子分配律）k(x+y)=kx+ky．

其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。

数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。

当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。

简单性质

（1）V中零元素（或称θ向量）是唯一的。

（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。

（3）kx=θ（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=θ。

（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

例子

1. 域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。

2. 复数域C是实数域R上的线性空间。

3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。

4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。

线性变换（linear transformation）

　　变换的定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使对于任意向量x∈V，V中都有唯一的向量y与之对应，则称T是V的一个变换或算子，记为：Tx=y。称y为x在T下的象，而x是y的原象。

　　线性变换：如果数域K上的线性空间V的一个变换T具有性质：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，其中x,y∈V，k,l∈K。则称T是V的一个线性变换或线性算子。（个人理解就是可加性和齐次性）

　　两个特殊的线性变换：

　　1. 单位变换或恒等变换：Tex=x (x∈V)

　　2. 零变换：T0x=θ(x∈V)