欧几里德算法(辗转相处法)练手
2011-10-25 00:00
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欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b。
假设d是a,b的一个公约数,则有:a % d == 0 , b % d == 0,而r = a - kb,因此 r % d == 0 。因此d是(b,a mod b)的公约数。
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则b % d == 0 , r % d == 0 ,但是a = kb +r 所以 a % d == 0。因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b。
假设d是a,b的一个公约数,则有:a % d == 0 , b % d == 0,而r = a - kb,因此 r % d == 0 。因此d是(b,a mod b)的公约数。
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则b % d == 0 , r % d == 0 ,但是a = kb +r 所以 a % d == 0。因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。
/*==================================================*\ | GCD 最大公约数 \*==================================================*/ int gcd(int x, int y) { if (!x || !y) return x > y ? x : y; for (int t; t = x % y; x = y, y = t); return y; }
/*==================================================*\ | 快速 GCD \*==================================================*/ int kgcd(int a, int b) { if (a == 0) return b; if (b == 0) return a; if (!(a & 1) && !(b & 1)) return kgcd(a>>1, b>>1) << 1; else if (!(b & 1)) return kgcd(a, b>>1); else if (!(a & 1)) return kgcd(a>>1, b); else return kgcd(abs(a - b), min(a, b)); } /*==================================================*\ | 扩展 GCD | 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y; \*==================================================*/ int extgcd(int a, int b, int & x, int & y) { if (b == 0) { x=1; y=0; return a; } int d = extgcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return d; }
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