hdu 1480 钥匙计数之二

 

一、题目

Problem Description
一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。

Input

本题无输入
Output

对2<N<26，输出满足要求的钥匙的总数。
Sample Output

N=3: 104
N=4: 904
N=5: 5880
.
.
.
N=25: 8310566473196300280

 

二、题目分析

提交完本题后，颇觉有递推的味道。

出发点：构造结果ans
=num[1]+……+num[6];其中num[i]表示以i为最后一个槽的高度；计算出num[i]，从而得出结果。

 

首先进行初始化分析，即n=3时。

“相连的槽其深度之差不得为5”——1，6这两个高度不能相邻；而2，3，4，5这四个高度等价，且之后n=4，5，……25的计算过程中均有此规律。即num[1]=num[6]，num[2]=num[3]=num[4]=num[5]，在写代码时注意到这点便可以不需要用到数组；

num[1]=num[6]=16;num[2,3,4,5]=18;

ans[3]=104;

 

（下面是重点）

再由n-1递推分析n的情况：

1、当前面n-1个排列是钥匙的排列，则

A、对2，3，4，5作为第n个高度来说都能满足题意，有num[2,3,4,5]=ans[n-1];

B、对1，6（1，6等价，记号不同而已）来说，第n-1个高度不能为6，1，即要去掉

几个不符合题意的组合；num[1]=ans[n-1]-num__[6](前n-1个中最后一个为6的个数，实际写代码时要用另一个数组保存)。同理 num[6]=ans[n-1]-num__[1](……)。也即num[1,6]=ans[n-1]-num__[6](……);

 

2、当前面n-1个排列不是钥匙的排列，则

A、对i（i=2，3，4，5）作为第n个高度来说能满足钥匙的要求，则说明前面n-1个排列里仅有两类高度，且与i不同，加上i就刚
4000
好3类高度满足题意。那么前面两类高度的选法总数是从其余5类高度里选出两类，即C（5，2），但1，6不能同时选，故组合数为

C（5，2）-1。 再看排列数，n-1个位置，每个位置可任选两类，但不能全部是同一类高度，故排列数2^(n-1)-2。

B、对i=1，6，同上面分析。因为1，6等价，所以我这里举i=1来说，前面两类高度里我有两种取法，选6和不选6。

对于选6，组合数是C（4，1）（剩下2，3，4，5任意选一）；再看排列数，每个位置可任选两类，但不能全部是同一高度，且最后一个也即第n-1个位置处不能为6，也可换个说法，最后一个位置放i（i=2，3，4，5），前面n-2个位置任选6和i放，排列数4×（2^(n-2)-1）。前面不能全是和后面n-1的位置同一高度

对于不选6，组合数是C（4，2）；再看排列数，每个位置可任选两类，且不能全部是同一类高度，排列数2^(n-1)-2。

 

把上面的组合数与排列数相乘便得到一种情况下的num[i]的值，所有情况的值相加便得到结果。

 

三，源代码

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
__int64 num[3],ans[26],t=16;
int i;
ans[3]=104;
for(i=4;i<=25;i++)
{
num[1]=ans[i-1];
num[2]=ans[i-1]-t;
num[1]+=9*((__int64)pow(2,i-1)-2);
num[2]+=4*((__int64)pow(2,i-2)-1)+6*((__int64)pow(2,i-1)-2);
ans[i]=4*num[1]+2*num[2];
t=num[2];
}
for(i=3;i<=25;i++)
{
printf("N=%d: %I64d\n",i,ans[i]);
}
return 0;
}