判断点在多边形内外的简单算法 -- 改进弧长法

今天学图形学的时候发现了一个求多边形内外的超简单算法，当时觉得非常惊喜，

后来晚上上完选修的时候在走廊遇到bug，bug也是很惊喜地感慨道：居然有甘简单既办法

都捻唔到！遂将其写下，供大家分享，希望不会太火星。

这个算法是源自《计算机图形学基础教程》（孙家广，清华大学出版社），在该书

的48-49页，名字可称为“改进的弧长法”。该算法只需O(1)的附加空间，时间复杂度为O

(n)，但系数很小；最大的优点是具有很高的精度，只需做乘法和减法，若针对整数坐标则

完全没有精度问题。而且实现起来也非常简单，比转角法和射线法都要好写且不易出错。

首先从该收中摘抄一段弧长法的介绍：“弧长法要求多边形是有向多边形，一般规

定沿多边形的正向，边的左侧为多边形的内侧域。以被测点为圆心作单位圆，将全部有向

边向单位圆作径向投影，并计算其中单位圆上弧长的代数和。若代数和为0，则点在多边形

外部；若代数和为2π则点在多边形内部；若代数和为π，则点在多边形上。”

按书上的这个介绍，其实弧长法就是转角法。但它的改进方法比较厉害：将坐标原

点平移到被测点P，这个新坐标系将平面划分为4个象限，对每个多边形顶点P ，只考虑

其所在的象限，然后按邻接顺序访问多边形的各个顶点P，分析P和P[i+1]，有下列

三种情况：
（1）P[i+1]在P的下一象限。此时弧长和加π/2；
（2）P[i+1]在P的上一象限。此时弧长和减π/2；
（3）P[i+1]在Pi的相对象限。首先计算f=y[i+1]*x-x[i+1]*y（叉积），若f=

0，则点在多边形上；若f<0，弧长和减π；若f>0，弧长和加π。

最后对算出的代数和和上述的情况一样判断即可。

实现的时候还有两点要注意，第一个是若P的某个坐标为0时，一律当正号处理；

第二点是若被测点和多边形的顶点重合时要特殊处理。

以上就是书上讲解的内容，其实还存在一个问题。那就是当多边形的某条边在坐标

轴上而且两个顶点分别在原点的两侧时会出错。如边(3,0)-(-3,0)，按以上的处理，象限

分别是第一和第二，这样会使代数和加π/2，有可能导致最后结果是被测点在多边形外。

而实际上被测点是在多边形上（该边穿过该点）。

对于这点，我的处理办法是：每次算P和P[i+1]时，就计算叉积和点积，判断该

点是否在该边上，是则判断结束，否则继续上述过程。这样牺牲了时间，但保证了正确性

。

具体实现的时候，由于只需知道当前点和上一点的象限位置，所以附加空间只需O(

1)。实现的时候可以把上述的“π/2”改成1，“π”改成2，这样便可以完全使用整数进

行计算。不必考虑顶点的顺序，逆时针和顺时针都可以处理，只是最后的代数和符号不同

而已。整个算法编写起来非常容易。

针对以上算法，我写了一个代码，拿ZOJ 1081 Points Within进行测试，顺利Acce

pted。这证明该算法的正确性还是可以保障的。

以下附上我的代码：

// ZOJ 1081 , 改进弧长法判点在形内形外
#include <stdio.h>
#include <math.h>
const int MAX = 101 ;
struct point { int x , y ; } p[MAX] ;

int main()
{
int n , m , i , sum , t1 , t2 , f , prob = 0 ;
point t ;
while ( scanf( "%d" , &n ) , n )
{
if( prob ++ ) printf ( "\n" );
printf ( "Problem %d:\n" , prob ) ;
scanf ( "%d" , &m ) ;
for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf ( "%d%d" , &p.x , &p.

y ) ;
p
= p[0] ;
while ( m -- )
{
scanf ( "%d%d" , &t.x , &t.y );
for ( i = 0 ; i <= n ; i ++ ) p.x -= t.x , p.y -

= t.y ; // 坐标平移
t1 = p[0].x>=0 ? ( p[0].y>=0?0:3 ) : ( p[0].y>=0?1:2 )

; // 计算象限
for ( sum = 0 , i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
if ( !p.x && !p.y ) break ;

// 被测点为多边形顶点
f = p.y * p[i-1].x - p.x * p[i-1].y ;

// 计算叉积
if ( !f && p[i-1].x*p.x <= 0 && p[i-1].y*p[

i].y <= 0 ) break ; // 点在边上
t2 = p.x>=0 ? ( p.y>=0?0:3 ) : ( p.y>

=0?1:2 ) ; // 计算象限
if ( t2 == ( t1 + 1 ) % 4 ) sum += 1 ;

// 情况1
else if ( t2 == ( t1 + 3 ) % 4 ) sum -= 1 ;

// 情况2
else if ( t2 == ( t1 + 2 ) % 4 )

// 情况3
{

if ( f > 0 ) sum += 2 ; else sum -= 2

;
}
t1 = t2 ;
}
if ( i<=n || sum ) printf( "Within\n" ) ; else printf(

"Outside\n" ) ;
for ( i = 0 ; i <= n ; i ++ ) p.x += t.x , p.y +

= t.y ; // 恢复坐标
}
}
return 0;
}