算法-排序-快速排序(QuickSort)分析

算法过程

QuickSort过程([2],P85)

QuickSort中用到的PARTITION过程([2],P85)

下图([2]图7-2)非常好的描述了PARTITION过程中数组元素的位置分布情况。

下面简单介绍一下PARTITION的循环中某一次的数据编排方式：

IF(Array[j]>x,

j++

ELSE

i++,j++,

exchangeArray[i]<->Array[j-1]

算法简单分析

算法简单分析中，将着重以传达意思为主，不会涉及严格的数学公式证明。

注意：每次划分n个元素的时间代价为thet(n).不论划分结果如何.

假设对n个元素排序所需时间为T(n)

最坏情况：

最坏情况为划分的两个区域分别包含n-1个和0个元素，

即：每次划分选取的基准都是当前无序区中关键字最小（或最大）的记录。

这样接下来的n-1个元素划分的时间为T(n-1)。

这样我们得到

T(n)=T(n-1)+thet(n)

看到这个公式，根据基本概念，可以知道其复杂度为thet(n平方).当然也可以通过[2]中的主定理证明。

思考：如果输入数据已经排好序，不论正序或者倒序，都将造成最坏情况。

最佳情况：

最佳情况为两个区域个包含n/2个元素，这样

T(n)=2T(n/2)+thet(n)

再由主定理复杂度为thet(nlgn)

思考1：mergesort的公式为T(n)=2T(n/2)+thet(n),其时间复杂度为thet(n*logn).为什么不直接使用mergesort？

因为mergesort需要太多的memory。

思考2：这里，我们一定要有这样的思维，目前我们碰到的mergesort,quicksort都出现了T(n)=T(an+b)+thet(n)类似的公式。

也就是说，有可能大部分简单的排序算法都可以通过分而治之(divideandconquer),分步法等简要直白的方式，将问题简化为此类公式。

此公式方便的打开了算法分析之门。

思考3：mergesort最大可能使用多少内存？TODO

我们知道，我们无法决定每次划分的情况。但是我们知道只要每次划分出现一定随机化分布，就会得到比较好的划分结果，至少不会最差。

我们通过每次选择参照的元素时，不直接选取最后一个，而是随机选取（randomsampling)，就可以轻易达到效果。

同时，不用担心对原有PARTITION程序的乖动，我们只要在随机选取后，将随机样本与数组最后元素交换位置即可。

如下：

RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)

1.i<-RANDOM(p,r)

2.exchangeA[r]<->A[i]

3.PARTITION(A,p,r)

RANDOMIZED-QUICKSORT(A,p,r)

1.ifp<r

2.thenq<-RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)

3.RANDOMIZED-PARTITION(A,p,q-1)

4.RANDOMIZED-PARTITION(A,q+1,r)

算法进一步分析

TODO

总结

TODO。

参考文献：

[1].算法分析导论Section1.4平均情形分析，1.5例：快速排序的分析

[2].算法导论,CH，V2，Chapter7快速排序