POJ 3660 && NYIST 211 Cow Contest && ZOJ 1060 Sorting It All Out【Floyd算法扩展应用】

Floyd算法:

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法(百度百科给的。。。)。

核心思路

　　通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

　　从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

　　采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);（由此可见Floyd算法不适合大规模数据、稀疏矩阵处理，比较适合小规模密集矩阵类的题目）

　　其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

　　map[i,j]表示i到j的最短距离

　　K是穷举i,j的断点

　　map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

　　当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路

Floyd作为最短路算法众所周知，但是还有一些扩展性应用，比如可以根据元素间的某种关系建图，对图中的各个元素间的关系进行一个关系传递闭包。

下边给出两个扩展实例：

POJ 3660 &&NYIST 211 Cow Contest：（代码十分短，简单易懂，就不解释了）

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
bool cows[101][101];
void Floyd(const int &n)
{
for (int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
{
cows[i][j]= cows[i][j] || (cows[i][k] &&cows[k][j]);
}
}
int main()
{
//freopen("1.txt","r",stdin);
int n,m,t1,t2;
while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n && m)
{
memset(cows,0,sizeof(cows));
for (int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&t1,&t2);
cows[t1][t2]=1;
}
Floyd(n);
t2=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
t1=0;
for (int j=1;j<=n;j++)
{
if(cows[i][j] || cows[j][i]) t1++;
}
if(t1==(n-1)) t2++;
}
printf("%d/n",t2);
}
}

ZOJ 1060 Sorting It All Out:

最后排序输出之后还有一个"."，汗死！！！

题解： n个元素要是能确定一个全序，任意两个元素间必能比较大小，这样关系总数应该有n-1 + n-2 + n-3 + …+1 = n*(n-1)/2 个。

如果中途达到这个关系总数，则Sorted sequence determined after xxx relations: yyy...y.

每次输入数据后进行Floyd关系传递，如果出现矛盾关系则：Inconsistency found after xxx relations.

如果数据输完关系数扔未达到总关系数的则：Sorted sequence cannot be determined.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool relations[27][27],flag1,flag2;
struct data{char ch;int num;} datas[27];
int rightnum;
void Floyd(const int &n){
for (int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
relations[i][j]=relations[i][j] ||(relations[i][k] &&relations[k][j]);
}
void check(int n){
rightnum=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
if(relations[i][j] && relations[j][i])
{flag1=1;return;}
else if(relations[i][j])
rightnum++;
}
bool cmp(data d1,data d2)
{return d1.num>d2.num;}
void sortData(int n){
int num;
for (int i=1;i<=n;i++){
num=0;
for (int j=1;j<=n;j++){
if(relations[i][j]) num++;
}
datas[i].num=num;
}
sort(datas,datas+n+1,cmp);
}
void init(){
memset(relations,0,sizeof(relations));
memset(datas,0,sizeof(datas));
flag1=0;flag2=0;
for (int i=0;i<26;i++)
datas[i+1].ch='A'+i;
datas[0].num=-1;
}
int main(){
freopen("1.txt","r",stdin);
int n,m,t1,t2;
char ch1,ch2,ch3;
while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n && m){
init();
getchar();
for (int i=0;i<m;i++){
scanf("%c%c%c",&ch1,&ch3,&ch2);
getchar();
if(flag1 || flag2) continue;
t1=(int)(ch1-'A'+1);
t2=(int)(ch2-'A'+1);
relations[t1][t2]=1;
Floyd(n);
check(n);
if(flag1){
printf("Inconsistency found after %d relations./n",i+1);
continue;
}
if(rightnum==n*(n-1)/2){
flag2=1;
printf("Sorted sequence determined after %d relations: ",i+1);
sortData(n);
for (int i=0;i<n;i++)
printf("%c",datas[i].ch);
printf("./n");
continue;
}
}
if(!(flag1 || flag2))
printf("Sorted sequence cannot be determined./n");
}
}