梁彪：西方多值逻辑发展的四个阶段

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多值逻辑是正在发展着的现代逻辑的一个领域，追根溯源，多值逻辑产生和发展的线索可以追溯到古希腊时期亚里士多德等人对“未来偶然”问题以及对命题的模态问题的讨论。作为现代形式的多值逻辑系统是20世纪20年代提出来的，从那时起，多值逻辑成为现代逻辑的分支。纵观西方多值逻辑发展的过程，大致可以分为四个阶段。
一、多值逻辑的孕育阶段
朴素的多值逻辑思想古已有之，而且这些多值逻辑思想是现代多值逻辑产生的动力之一。 西方多值逻辑思想的产生是跟人们质疑“二值公理”的普遍有效性联系在一起的。亚里士多德曾在《解释篇》中讨论过“未来偶然”问题的真值。亚里士多德认为像断定“明天有海战发生”之类有关未来偶然问题的命题，不是现实的真或假，而是潜在的真或假的。因此，这个命题应该有除真假之外的第三个值──未确定。在古代，人们是否接受二值逻辑跟是否相信决定论有关。伊壁鸠鲁主义者反对决定论，因此也反对二值逻辑。斯多葛学派坚决主张决定论，因此也坚决主张二值逻辑。在中世纪，许多逻辑学家（包括伊斯兰世界以及拉丁语系的欧洲的逻辑学家）对“未来偶然”问题展开了热烈的讨论。有些逻辑学家像斯各托、威廉·奥康等人把有关“未来偶然”的命题看成是与传统的真假命题完全不同的中性命题，也就是说，这些命题是未确定的，因而是既非真又非假的。但是这种观点受到来自伊斯兰世界的阿法拉比以及基督教的阿奎那等人的批评。他们说，如果未来偶然问题是既非真又非假的，那么怎样解释“神喻”呢？到了15世纪，卢怀因这些问题展开了热烈的讨论。彼得将有关神喻之类的忧虑抛开一边，成为“中性值”的主要倡导者。他说，人们很难相信“明天将下雨”（４月12日断定）和“昨天的确下了雨”（４月14日断定）这两个命题具有同样的值，虽然两者都是对４月13日下雨这个事实作出了断定。这种为未来偶然问题提供第三个值的讨论，成为卢卡西维茨创立三值逻辑的一个思想来源。 命题的模态的概念也给多值逻辑提供了一个重要的来源。自从亚里士多德以来，许多逻辑学家一直对只将命题的值分为真假二值不满意。在古代，已经有一些逻辑学家提出了更为详细的模态分类方法，如可以分为： 必然真 偶然真（实际上真，但并不必然真） 偶然假（实际上假，但并不必然假） 必然假 实际上，亚里士多德在使模态命题理论的形式化方面做了许多工作。类似地，有些逻辑学家受到现代概率理论发展的鼓舞，考虑引进一些“概率性”的模态词：真、大概真、未确定、大概假、假等等。 建立一种逻辑去处理这种非二值的命题，成为多值逻辑发展的主要动力。
二、建立多值逻辑的尝试阶段
在这个阶段，有几个人值得一提，他们是麦柯尔、皮尔斯和瓦西尔也夫。 麦柯尔设计了一种可以取几种不同“真”值的命题逻辑系统、在这个系统中，除了传统的真假二值外，还有必然，不可能和偶然几种模态值。麦柯尔将他的系统称为“三维的逻辑”。必然命题是必然真的，不可能的命题是必然假的，而偶然命题是有时为真，有时为假的。麦柯尔剧烈说明这三种命题，如“２＋３＝５”是必然真的，“２＋３≠５”是必然假的，“２＋ｘ＝５”是有时为真，有时为假的。麦柯尔把他的系统发展成为一种逻辑代数，只不过是以三值为基础而不是以二值为基础的。他对具有不同变元的命题进行了概率演算，因此，他被看成为用非标准的多值逻辑构造概率的先驱人物。 皮尔斯从好几个不同的出发点建立多值逻辑，其中之一就是他接受了亚里士多德关于未来偶然问题的看法。在一篇题为“精密的逻辑”的论文中，皮尔斯设想了一种“三分法数学”。他解释说，这种数学是以三值或“三价的”逻辑为基础的。虽然皮尔斯被认为是传统二值逻辑的真值表方法的发明者之一（另一发明者为弗雷格），现在有证据表明，早在1909年皮尔斯已经提出了一个以他的三值模态逻辑为基础的三值逻辑真值表。在1909年皮尔斯曾经写道：“我很早就发现现有的逻辑只在真假二值中取值的严重缺陷。我并不是说排中律完全是假的，我只是说，在每个思想领域中，在肯定与否定之间都有一个中间过渡地带。数学家常常承认这一点。……那些形而上学家和思想僵化的逻辑学家从不承认这一点。这种承认并不意味着对现有逻辑的任何否定，而是大大地扩展它。”皮尔斯也想出了许多三值逻辑的联结词，虽然后来这些联结词没有被逻辑界采用。令人遗憾的是，皮尔斯并没有以一种使人容易理解的方式来说明他的观点，也没有发表他的发现。人们在皮尔斯的著作中发现，皮尔斯至少有部分新意是从他研究麦柯尔的论文中产生的。皮尔斯跟麦柯尔有相当多的接触。但是，皮尔斯所表述的“三维的数学”并没有真正地从二维的结构中解放出来，因此，他对多值逻辑和模态逻辑研究的深度比不上麦柯尔。 在1910年至1914年之间，俄国人瓦西尔也夫发表了几篇他称之为“假想的非亚里士多德逻辑”的论文。在1912年的论文中，瓦西尔也夫称他所做的工作相当于非欧几里德几何。瓦西尔也夫研究在保持原有逻辑的基础上那些逻辑原则可以改变或可以消除。在瓦西尔也夫看来，逻辑是由两个部分构成：（1）固定的不可改变的元逻辑原则部分；（2）意向性以认识论为基础，依赖于已知事物的性质（潜在可改变的）的逻辑规则部分。瓦西尔也夫认为，根据康德的说法，矛盾律可表示为“主词不可有一个于之相矛盾的谓词”，排中律可表示为“一个主词必须或者有一个谓词或者有这个为此的否定”。根据上面的表述，瓦西尔也夫认为这两条规律是属于逻辑的认识论部分而不是属于“元逻辑”部分，因此，这两条逻辑规律是可以改变的。另外，他又在矛盾律与非自我矛盾律之间作了区分。“同一个判断不可能同时既是真的，有时假的。”这是不可更改的元逻辑原则。瓦西尔也夫描述了一种“假想”的逻辑，这种逻辑不同于由现实所决定的以认识论为基础的逻辑，而是一种去掉矛盾律或排中律其中一条的非亚里士多德逻辑。 这样，瓦西尔也夫假设了这样一个世界，在其中，有些事物有属性Ａ，有些事物有属性非Ａ，还有一些事物同时具有Ａ和非Ａ。与此相对应的，命题的逻辑状态依照三种“判断形式”有“肯定”、“否定”或“无差别”。例如，简单肯定的形式为“Ｓ是Ｐ”，简单否定的形式为“Ｓ不是Ｐ”，而结合肯定和否定的无差别的形式是“Ｓ既是Ｐ又不是Ｐ”。在这个跟我们不同的世界里，拥有非Ａ不等于没有Ａ，否则的话会在元逻辑意义上违反自我矛盾律。既然一个命题描述了相当这三种不同情况之一的事物的性质，所以，这种逻辑实际上是三值的。瓦西尔也夫阐述了排四律，这条规律跟排三律在古典逻辑中起作用一样，在三值逻辑中起作用。 虽然瓦西尔也夫提出了“假想的非亚里士多德逻辑”，促进了多值逻辑的发展，但是人们还是没有将他的系统看成为多值逻辑，原因在于，瓦西尔也夫从来没有使他的有关命题的关键性的思想脱离古典逻辑模式，以使命题除了传统的真假二值之外，还有另外一些值。虽然如此，瓦西尔也夫，以及麦柯尔、皮尔斯等人的工作预兆着创立多值逻辑的条件已经成熟了。
三、多值逻辑创立时期
多值逻辑创立时刻应该是从卢卡西维茨和美国人波斯特在20世纪20年代早期各自提出多值逻辑系统开始的。 卢卡西维茨在1920年发展了他的三值逻辑系统。在他的论文中，卢卡西维茨表明他将彻底地抛弃二值逻辑，积极鼓吹三值逻辑。以下面的公式为公理，华兹堡成功地将卢卡西维茨的三值逻辑公理化。 （1） α→（β→α） （2） （α→β）→〔（β→γ）→（α→γ）〕 （3） （┑α→┑β）→（β→α） （4） 〔（α→┑α）→α〕→α 值得一提的是，卢卡西维茨对多值逻辑的作用与意义前后有了相当大的改变。在他的早期论文中，卢卡西维茨认为只有三值逻辑和无限值逻辑才具有哲学意义，因此在应用上才是最重要的，而ｎ值逻辑（ｎ＞３），ｎ是有限的）并没有增加多少哲学意义。后来他却改变了自己的看法，认为某个四值逻辑系统才是最重要的有限的多值逻辑系统。 波斯特发现，他所提出的多值逻辑系统是与卢卡西维茨有着重大差别的逻辑系统。当卢卡西维茨将他的三值逻辑扩展为ｎ值逻辑时，波斯特的多值逻辑本身就是ｎ值的。虽然他本人没有承认他的系统是ｎ值的，波斯特的多值逻辑系统有一个严重的缺陷，就是波斯特对他的进行的语义解释，是用命题的“集”而不是用命题解释的。波斯特将他的研究成果发表在1921年的论文上，一样他再也没有就这个问题发表过任何东西了。 跟麦柯尔、皮尔斯、瓦西尔也夫不同，卢卡西维茨和波斯特各自提出了一个相当严密的多值逻辑系统，因此，他们俩人被看成是多值逻辑的创始人。
四、多值逻辑的扩充和应用阶段
多值逻辑系统建立以后，多值逻辑的理论研究与应用沿着两个不同的方向发展。 卢卡西维茨建立的多值逻辑吸引了不少逻辑学家的注意，对此进行研究，取得了不少的成果。在这方面，除了卢卡西维茨本人继续作出贡献以及上面所提到的人外，还有塔斯基、斯鲁比斯、罗莎和图尔克特等人的贡献也很重要。 除了卢卡西维茨的多值逻辑系统外，人们还提出了许多多值逻辑系统。在这方面有海亭、歌德尔、波茨瓦尔、克利恩等人的贡献。其中波茨瓦尔和克利恩的论文特别重要，因为他们提出的多值逻辑系统跟卢卡西维茨的多值逻辑系统有较大的差别，而且在数学中有着明显的应用。 由于缺少了排中律，多值逻辑系统中的否定具有某些与传统逻辑中否定不同的性质，这种性质使多值逻辑与直觉主义命题演算的背景下研究多值逻辑成为可能。在这个领域进行研究的创始者是荷兰的数学家布劳威尔以及俄罗斯的数学家柯莫戈罗夫。海亭也对直觉主义命题演算作出重要的贡献。 多值逻辑公理化问题一直是逻辑学家关注的问题。罗莎和图尔克特写了一本书对这些问题进行了大量的研究。罗斯和Ｊ．Ｂ．罗沙提出了卢卡西维茨无限值多值逻辑公理化方法，认为这个系统可以建立在如下公理上面： （1） α→（β→α） （2） （α→β）→〔（β→γ）→（α→γ）〕 （3） （┑α→┑β）→（β→α） （4） 〔（α→β）→β〕→〔（β→α）→α〕 （5） 〔（α→β）→（β→α）〕→（β→α） 运用多值逻辑研究模态逻辑，用多值方法构造模态概念也是多值逻辑的一项重要内容，在这方面歌德尔的工作特别重要。都根德吉构造了一个具有无限值的真值表表示刘易斯的Ｓ1到Ｓ5模态逻辑系统，结果显示了在刘易斯的模态系统和有限的多值逻辑之间存在一条不可逾越的鸿沟。 波克瓦尔用多值逻辑来处理数学悖论。他用第三个值“未确定”赋予那些“无意义”或“未定义”的命题，这些命题通常是指悖论性的命题。后来，也有人试图用多值逻辑来构造没有悖论的集合理论。有些逻辑学家探索运用多值逻辑来处理语义悖论，特别是说谎者悖论，而另外一些人则说，这样一些悖论也会在多值逻辑中出现。 多值逻辑的哲学意义主要表现在如何处理“未来偶然”问题和“中性值”问题。卢卡西维茨把“中性值”看成是“未确定”的，这表明未来偶然问题仍然是有待研究的。有些逻辑学家以卢卡西维茨的三值逻辑为出发点进行研究，取得了一些成果。例如泼赖尔运用无限系列的多值逻辑来建立“时态逻辑”，这种逻辑系统中的命题是依照过去、现在、将来等不同的时态来确定它们的值的。 从将多值逻辑应用在数学方面来看，人们特别感兴趣的是如何将概率方法用于多值逻辑，在这方面最先进行探索的是波兰学者扎威尔斯基。他在1930年发表了若干有关这方面的论文。但是，大多数波兰逻辑学家认为概率的非真值函项特征，是把概率系统看成为多值逻辑系统的关键性障碍，例如塔斯基就持有这样的观点。在概率逻辑发展过程中，作出重要贡献的逻辑学家有莱欣巴哈和卡尔纳普。 在将多值逻辑应用在物理方面，有些人用三值逻辑处理量子力学。莱欣巴哈等人在这方面作了大量的工作。 多值逻辑是一个较新的逻辑分支，很多系统还不够完善，特别是许多系统还没有找到语义解释。尽管如此，多值逻辑目前已经在数学、计算机、人工智能、物理学等领域得到了广泛的应用，有着广阔的发展前景。
—————————参考书目1 J.B. Rosser and A.R. Turguette, "Many-Valued Logics." Amsterdam, 1952.2 Ackerman, "An Introduction to Many-Valued Logics." London, 1967.3 亚里士多德：《范畴篇》，商务印书馆1962年版。4 郑文辉：《欧美逻辑学说史》，中山大学出版社1994年版。