经典算法题目——最长公共子序列问题

给定两个序列
X = { x1 , x2 , ... , xm }
Y = { y1 , y2 , ... , yn }
求X和Y的一个最长公共子序列

举例
X = { a , b , c , b , d , a , b }
Y = { b , d , c , a , b , a }
最长公共子序列为
LSC = { b , c , b , a }

分析：

最长公共子序列问题具有最优子结构性质

设
X = { x1 , ... , xm }
Y = { y1 , ... , yn }
及它们的最长子序列
Z = { z1 , ... , zk }

则

1、若 xm = yn ， 则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列
2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列
3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

由性质导出子问题的递归结构

当 i = 0 , j = 0 时 ,        c[i][j] = 0
当 i , j > 0 ; xi = yi 时 ,  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

#include "iostream.h"
#include "iomanip.h"

#define max 100

void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,char *b)
{
int i,j,k;
int c[max][max];
for(i=1;i<=m;i++)
c[i][0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
c[0][i]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(x[i-1]==y[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
k=i*(n+1)+j;
b[k]='//';
}
else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
k=i*(n+1)+j;
b[k]='|';
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
k=i*(n+1)+j;
b[k]='-';
}
}
}
}
void LCS(int i,int j,char *x,char *b,int width)
{
if(i==0||j==0)
return;
int k=i*(width+1)+j;
if(b[k]=='//')
{
LCS(i-1,j-1,x,b,width);
cout<<x[i]<<endl;
}
else if(b[k]=='|')
LCS(i-1,j,x,b,width);
else
LCS(i,j-1,x,b,width);
}

void main()
{
char x[max] = { 'a','b','c','b','d','a','b'};
char y[max] = { 'b','d','c','a','b','a'};
int m=7;
int n=6;
char b[max] = { 0 };
LCSLength(m,n,x,y,b);
LCS(m,n,x,b,n);
cout<<endl<<endl;
}