经典算法之—背包问题

一．完全背包问题

问题描述：有一个背包容量为M，一堆物品其重量表示为W={w(1),w(2),…}，物品相应的价值V={v(1),v(2),…}，现在要求将物品中的一部分或全部，放入背包。要求：装入物品的总价值最高；同时满足装入物品总重量不超过M；对单个物品而言，状态可为：装入背包、不装入背包、一部分装入背包。
假设装入的物品为从w(i)到w(j)，则有：



对于完全背包而言，我们采用的常见算法为：贪心算法。贪心规则为：每次放入的物品必须满足单位重量价值最高，即v(i)/w(i)最大。
example：



第一步：计算单位重量价值：



第二步：放物品，按照单位重量价值来说6>5>4，因此放入顺序为w(1)、w(2)、w(3)。
显然w(1)完全放入后，背包未满；因此完全放入w(2)后，背包仍未满；但是此时若继续全部放入w(3)，显然无法全部放入，只能放入三分之二的w(3)。

二．0/1背包问题

相对于完全背包问题而言，0/1背包问题多了一条规则：
物品放入规则，要么全部放入，要么不放入；不能部分放入！！
这个看似把问题简单化的规则，实际上让问题变得更加复杂。仔细想想就知道先前的贪心算法在这里失效了。因为前面的贪心规则无法保证单位重量价值最大物品一定被取到。
对于0/1背包问题，常采用的算法是：动态规划。之前的一篇关于动态规划详细讲解的文章：http://blog.csdn.net/zk_j1994/article/details/53700782
显然对于动态规划而言，最核心的事情就是寻找“状态转移函数”！！！
在寻找状态转移函数之前，说说下面这个装包过程最注意的一点就是，我们是尝试性装包，也就是说，一边往里面放，但受容量限制，还有可能拿走背包里面之前的物品，以满足不超重！！！寻找状态转移函数：
（1）假设我们正在将物品向背包里面瞎装一通，此时恰好装到第i个物品。
（2）假设我们运气足够好，前面装了的i-1个恰好是局部最优解。换句话说，不可能找到其他i-1个物品放进背包能拥有更大的效益值。
（3）由于是0/1背包问题，此时我们必须要决定第i个物品到底放不放入背包？在这里，放入不放入最直观的解释就是：如果放入物品，整个效益值提高，就决定放入；反之，则不放入。这里要注意了，因为我们是既往里面装，又可能往外面拿的过程。受容量限制，可能你把第i个放进去了，同时也需要从里面拿一个出来。！自然分两种情况讨论；
（4）当第i个物品不放入背包时，设设总的效益值为C[i-1,j]，其中i-1表示背包中已经放入了i-1个物品，j表示背包的容量。（这里的i，j主要是为了编程的方便，因为是通过循环的方式逐渐增大i，j来选择物品是否放入的，可参考图1。）
（5）当第i个物品放入背包，放入背包之后，总的效益值就应该为C[i-1,j-w(i)]+v(i)，其中i表示背包中已经放入了i个物品，j-w(i)表示背包剩余的容量。
（6）比较C[i-1,j]和C[i-1,j-w(i)]+v(i)的大小，来决定是否放入。如果C[i-1,j]<C[i,j-w(i)]+v(i)，放入；否则不放入。
因此状态转移方程为：



example：



计算情况如图1：
 


图1
代码实现：

############################
#动态规划之0/1背包问题
#by:zkj
#2016年12月18日
############################
from numpy import zeros

def pack(weight,value,capacity):
itemCnt = len(weight) #物品数量
totalValue = zeros([itemCnt+1,capacity+1],int) #存放历史最优解的数组
for i in range(0,itemCnt+1): ##状态转移函数实现
for j in range(0,capacity+1):
if (i == 0) or (j == 0):
totalValue[i][j] = 0
elif j < weight[i-1]:
totalValue[i][j] = totalValue[i-1][j]
else:
totalValue[i][j] = max(totalValue[i-1][j],totalValue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
return totalValue

def printResult(totalValue,weight,value,capacity):
itemCnt = len(weight)
print("背包能装的最大效益值:\n",max(totalValue[itemCnt]))
print("装入背包的物品有:")
i = itemCnt;j = capacity
while i >= 0:
if totalValue[i][j] == totalValue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]:
print(i,end = "") #结尾不换行
j = j-weight[i-1]
i -=1
return

weight = (5,3,7,4) #物品重量
value = (3,2,9,5) #物品价值
maxCapacity = 15 #背包容量
stateMat = pack(weight,value,maxCapacity)
printResult(stateMat,weight,value,maxCapacity)