pku3090 pku2478（欧拉函数的应用，法雷级数）

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3090

题目大意：一个(n+1)*(n+1)的点阵，问多少点能被点(0,0)看到。如果(0,0)到(i,j)的连线被点挡住就算看不到。

先画一条(0, 0)到(n, n)的线，把图分成两部分，两部分是对称的，只需算一部分就好。
取右下半，这一半里的点(x, y)满足x >= y
可以通过欧拉函数计算第k列有多少点能够连到(0, 0)
若x与k的最大公约数d > 1，则(0, 0)与(x, k)点的脸先必定会通过(x/d, k/d)，就被挡住了
所以能连的线的数目就是比k小的、和k互质的数的个数，然后就是欧拉函数。由于是对称的，所以只需算一半的数量就够了。

第k列上的一个点的纵坐标为d,若gcd(k,d) != 1,则远带你与该点的连线必须通过（k/gcd,d/gcd）,肯定被挡住了。

由此我们可以得到递推公式 res1[i] = res1[i-1] + 2*phi[i];其中phi[i]是第i列上能看到的点的个数，

这是欧拉函数的解法：

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int phi[1005];
__int64 a[1005];
void euler()
{
int i,j;
for(i=1; i<=maxn; i++)
phi[i] = i;
for(i=2; i<=maxn; i+=2)
phi[i] /= 2;
for(i=3; i<=maxn; i+=2)
if(phi[i] == i)
{
for(j=i; j<=maxn; j+=i)
phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}
}
int main()
{
int t,n,i,j;
euler();
a[1] = 3;
for(i=2; i<=1000; i++)
a[i] = a[i-1] + phi[i]*2;
scanf("%d",&t);
for(i=1; i<=t; i++)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d %d %I64d/n",i,n,a
);
}
return 0;
}

还有其他解法：

递推：数组ans[i,j]表示一个0..i*0..j的点阵能被看到的点数。容易发现一个点(i,j)只有gcd(i,j)=1时才能被看到，否则必被(i/gcd(i,j),j/gcd(i,j))挡住！因此容易想到递推方程ans[i,j]=ans[i-1,j]+ans[i,j-1]+ans[i-1,j-1]，if gcd(i,j)=1 then ans[i,j]++。

直接求解：一个点(x,y)没有被之前的点挡住等价于x和y的最大公约数为1

因为测试数据组数很多，所以做成O(N^2)的预处理和O(1)的询问

另外还可以利用图形的对称性。

void Init()
{
N = 1000;
Count[0] = 0;
for(int i = 1; i <= N; ++i)
{
Count[i] = Count[i-1];
for(int j = 0; j <= i; ++j)
if(GCD(i,j)==1)++Count[i];
}
for(int i = 1; i <= N; ++i)
Count[i] = Count[i]*2-1;
}

R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表：

F1： 0/1 1/1
F2： 0/1 1/2 1/1
F3： 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
F4： 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1
F5： 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1
F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质：

1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs（a*d-b*c）=1。

2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F（n-1），则c=a+e；d=b+f。

性质2对于这个问题至关重要，它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章
关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F（n−1）到F（n）的构造过程中，F（n）的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F（n）中。