两条像面试用的编程问题，和我的囧事

昨天meta网友在某论坛写了两条编程题目:

以下是一些反面的解答，可澄清这两条个题目:

meta提供了同事的解答，但该解答用了static local variable来區分办调用次数。这函数有副作用，且不是thread-safe。因此这不是好答案。
Sweating和Kng Zhu网友利用语言特性，第一次调用函数时，输出第二种型别，使第二次执行该函数时，用型别来检测这是第二次调用。这个方法其实等同写两个签名不一样的函 数，和题目有出入，并不是正确答案。
Wang Feng网友利用复数去解题。不过如果输入输出能增加一个变量，不如直接用该变量来储存调用次数，就不需用复数了。

我的囧事

第一个回覆这帖子的是网友Atry，他解答了问题(1)，但没有写当中的逻辑(其实和本文的解法思路一样)。

另外，有网友认为两条问题是无解的，我也是当中一员。因此，今天午饭时间就发了以下的错误证明：

Lu JunZhu和Hongzhang Liu网友指出第4行有错误。Hongzhang Liu更套用同样思路，可以错误地证明，f(f(x))=4x中的f是不存在的。那就肯定是我的错了，囧rz。我当时没想到错在那，就去请教郑晖老师。

郑老师指出，只有自由变量(Free Variable)才可以置换(Subsititue)。上述证明中，x和y不是自由变量。 之后，郑老师独立做了一个解答，我编程序来测试(虽然郑老师认为应该用证明方式)。以下我尝试把郑老师的解答，加上我的理解去演译一个正确答案。

问题分析

这两问题的难点在于，函数不能储存额外状态。

我们首先分析问题(1)，设y=f(x)，则

1. f(x) = y

2. f(y) = -x

如果再把结果-x再应用一次f 函数，f(-x) = ?

因为之前 f(y)=-x，而按题目定义，f(f(y))=-y ，所以f(-x) = -y。我们可以列出:

3. f(-x) = -y

4. f(-y) = x

我们可以发现，4次函数映射之后，会变成一个循环。也就是说，

x → y → –x → –y → x→…

我们只要把数字分为四类，就可以实现这个循环。x和-x的分别是正负号，我们可以再利用数字的奇偶性，这两个正交属性可以产生4个组合。这个循环就 可变成

正奇→ 正偶→ 负奇→ 负偶→ 正奇→ …

可以看到，这个排列的正负号是每两次更改。接下来，就要想一个函数，满足这个变化。郑老师说他经过几次推敲，得到:

实现

在编程时，由于用(int)pow(-1,x)会做成浮点问题，所以我就改为:

view sourceprint?

01	template < typename t>

02	inline T even(T x) {

03	return x % 2 == 0 ? -1 : 1;

04

}

05

06	template < typename t>

07	inline T sgn(T x) {

08	if (x > 0)

09

return 1;

10	else if (x < 0)

11	return -1;

12

else

13

return 0;

14

}

15

16	template < typename t>

17	struct f1 {

18	T operator()(T x) {

19	return even(x) * x + sgn(x);

20

}

21

};

这个函数非常简单，可体现数学之美。郑老师也写了另一个比较少代码的实现:

view sourceprint?

01	template < typename T>

02	struct f2 {

03	T operator()(T x) {

04	if (x == 0)

05

return 0;

06	else if (x > 0)

07	return x & 1 ? x + 1 : 1 - x;

08

else

09	return x & 1 ? x - 1 : -x - 1;

10

}

11

};

测试

view sourceprint?

01	#include <limits>

02	#include <iostream>

03

04	using namespace std;

05

06	template < typename T, typename F>

07	void test(F f) {

08	cout << "[" << ( int )numeric_limits<T>::min() << "," << ( int )numeric_limits<T>::max() << "]" << endl;

09	T x = numeric_limits<T>::min();

10

do {

11	T y = f(f(x));

12	if (y != (T)-x)

13	cout << ( int )x << " " << ( int )y << endl;

14

x++;

15	} while (x != numeric_limits<T>::min());

16

17	cout << endl;

18

}

19

20	void main() {

21	test< signed char >(f1< signed char >());

22	test< signed short >(f1< signed short >());

23	test< int >(f1< int >());

24

25	test< signed char >(f2< signed char >());

26	test< signed short >(f2< signed short >());

27	test< int >(f2< int >());

28

}

f1和f2的执行结果相同:

view sourceprint?

1	[-128,127]

2

127 127

3

4	[-32768,32767]

5	32767 32767

6

7	[-2147483648,2147483647]

8	2147483647 2147483647

这结果说明，除了x为整数的上限时，结果正确。但因为没有额外的状态，相信这个边界问题应该不能解决。

第二题

第二题比较简单，只需要利用-(-x) = x的特点，无论x为正或负，经过这两次映射，总会有一次为正数，一次为负数。所以可以写一个函数，在x为正数时(或负数时)计算其倒数:

view sourceprint?

1	float g( float x) {

2	return x > 0 ? -1.0f / x : -x;

3

}

这个函数在x=0时无定义。

后记

我的数学不好，今天囧了。但是回想起来，如果我当初没有尝试去解决这个问题，就不会学到这些思考方式。这个小代价还是很值得的。

以上用了程序去测试正确性，应该也可以用数学归纳法去证明，读者可以试试看。

最后感谢郑老师的教导。

原文链接：http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/03/04/1677902.html

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