浮点数的二进制表示
2010-01-09 16:59
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基础知识：
计算机中数的表示：
首先，要搞清楚下面3个概念
数码 ：表示数的符号
基 ：数码的个数
权 ：每一位所具有的值
请看例子：
十进制转十六进制；
十六进制转二进制；
了解：
目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：
符号位 阶码 尾数 长度
float 1 8 23 32
double 1 11 52 64
以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数
例一：
已知：double类型38414.4。
求：其对应的二进制表示。
分析：double类型共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：
最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；
62-52位，一共11位是指数位；
51-0位，一共52位是尾数位。
步骤：按照IEEE浮点数表示法，下面先把38414.4转换为十六进制数。
把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。隐藏位技术：最高位的1不写入内存
（最终保留下来的还是52位）。
如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110
.0110101010101010101010101010101010101
(2)
科学记数法为：1
.0010110000011100110101010101010101010101010101010101
，右移了15
位，所以指数为15。或者可以如下理解：
1.00101100000111001101010101010101010101010101010101012
×2^15
于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1)，在这里，阶码：15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110；
符号位：因为38414.4为正对应 为0；
合在一起（注：尾数二进制最高位的1不要
）：
0
1000000 1110
0010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101
例二：
已知：整数3490593(16
进制表示为0x354321
)。
求：其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。
解法如下：
先求出整数3490593的二进制表示：
H: 3 5 4 3 2 1
（十六进制表示）
B: 001
1 0101 0100 0011 0010 0001
（二进制表示）
│←──────21─────→│
即：
1
.101010100001100100001
2
×
221
可见，从左算起第一个1后
有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k
=8位，小数域位(尾数
)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：
1 0101 0100 0011 0010 0001 00
float
类型的
偏置量
Bias=2k-1
-1=28-1
-1=127
，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的
21
位，因此偏置量为
127+12=148
，就是
IEEE
浮点数表示标准：
V = (-1)s
×
M
×
2E
E = e-Bias
中的
e
，此前计算
Bias=127
，刚好验证了
E=148-127=21
。
将
148
转为二进制表示为
10010100
，加上符号位
0
，最后得到二进制浮点数表示
1001010010101010000110010000100
，其
16
进制表示为：
H: 4 A 5 5 0 C 8 4
B: 0
100 1010 0
101 0101 0000 1100 1000 0100
|←──── 21 ─────→ |
1|←─8 ─→| |←───── 23 ─────→ |
这就是浮点数
3490593.0(0x4A550C84)
的二进制表示。
例三：
0.5
的二进制形式是0.1
它用浮点数的形式写出来是如下格式
0 01111110 00000000000000000000000
符号位 阶码 小数位
正数符号位为0，负数符号位为1
阶码是以2为底的指数
小数位表示小数点后面的数字
下面我们来分析一下0.5是如何写成0
01111110
0000000
00000000
00000000
首先0.5是正数所以符号位为0
再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1)
,所以我们总结出来:
要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数
而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;
即阶码=127+(-1)=126 即 01111110
余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000
由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0
01111110
00000000000000000000000
注：如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.
计算机中数的表示：
首先，要搞清楚下面3个概念
数码 ：表示数的符号
基 ：数码的个数
权 ：每一位所具有的值
请看例子：
| 数制 | 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
| 数码 | 0~9 | 0~1 | 0~7 | 0~15 |
| 基 | 10 | 2 | 8 | 16 |
| 权 | 10º，10¹，10²，… | 2º，2¹，2²，… | 8º，8¹，8²，… | 16º，16¹，16²，… |
| 特点 | 逢十进一 | 逢二进一 | 逢八进一 | 逢十六进一 |
| 十进制 | 4956= 4*10³+9*10² +5*10¹+6*10º |
| 二进制 | 1011=1 * 2 ³ +0 * 2 ² +1 * 2 ¹ +1 * 2 º |
| 八进制 | 4275=4 * 8 ³ +2* 8 ² +7* 8 ¹ +5* 8º |
| 十六进制 | 81AE=8* 16 ³ +1* 16 ² +10* 16 ¹ +14 * 16º |
十六进制转二进制；
了解：
目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：
符号位 阶码 尾数 长度
float 1 8 23 32
double 1 11 52 64
以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数
例一：
已知：double类型38414.4。
求：其对应的二进制表示。
分析：double类型共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：
最高位63位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为正；
62-52位，一共11位是指数位；
51-0位，一共52位是尾数位。
步骤：按照IEEE浮点数表示法，下面先把38414.4转换为十六进制数。
把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了。隐藏位技术：最高位的1不写入内存
（最终保留下来的还是52位）。
如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110
.0110101010101010101010101010101010101
(2)
科学记数法为：1
.0010110000011100110101010101010101010101010101010101
，右移了15
位，所以指数为15。或者可以如下理解：
1.00101100000111001101010101010101010101010101010101012
×2^15
于是来看阶码，按IEEE标准一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023(2^10-1)，在这里，阶码：15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110；
符号位：因为38414.4为正对应 为0；
合在一起（注：尾数二进制最高位的1不要
）：
0
1000000 1110
0010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101
例二：
已知：整数3490593(16
进制表示为0x354321
)。
求：其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。
解法如下：
先求出整数3490593的二进制表示：
H: 3 5 4 3 2 1
（十六进制表示）
B: 001
1 0101 0100 0011 0010 0001
（二进制表示）
│←──────21─────→│
即：
1
.101010100001100100001
2
×
221
可见，从左算起第一个1后
有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k
=8位，小数域位(尾数
)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：
1 0101 0100 0011 0010 0001 00
float
类型的
偏置量
Bias=2k-1
-1=28-1
-1=127
，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的
21
位，因此偏置量为
127+12=148
，就是
IEEE
浮点数表示标准：
V = (-1)s
×
M
×
2E
E = e-Bias
中的
e
，此前计算
Bias=127
，刚好验证了
E=148-127=21
。
将
148
转为二进制表示为
10010100
，加上符号位
0
，最后得到二进制浮点数表示
1001010010101010000110010000100
，其
16
进制表示为：
H: 4 A 5 5 0 C 8 4
B: 0
100 1010 0
101 0101 0000 1100 1000 0100
|←──── 21 ─────→ |
1|←─8 ─→| |←───── 23 ─────→ |
这就是浮点数
3490593.0(0x4A550C84)
的二进制表示。
例三：
0.5
的二进制形式是0.1
它用浮点数的形式写出来是如下格式
0 01111110 00000000000000000000000
符号位 阶码 小数位
正数符号位为0，负数符号位为1
阶码是以2为底的指数
小数位表示小数点后面的数字
下面我们来分析一下0.5是如何写成0
01111110
0000000
00000000
00000000
首先0.5是正数所以符号位为0
再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1)
,所以我们总结出来:
要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数
而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;
即阶码=127+(-1)=126 即 01111110
余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000
由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0
01111110
00000000000000000000000
注：如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.
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