所谓堆和堆排序

堆，是一棵完全二叉树，根的值大于左右子树中所有结点的值，左右子树也是堆，除此之外，对其它元素之间的大小关系（如左右子树之间元素大小关系）没有要求。

 

这是大根堆，如果把“大于”换成“小于”，就是小根堆，这里都以大根堆为例。

 

由于堆是完全二叉树，所以可以用数组来模拟，在数据结构上算是比较简单（所以才敢学啊，以前未考虑到它是完全二叉树，以为要用到二叉链表，迟迟没敢看。。）。

 

用数组模拟二叉树（当然也包括堆）的话，如果根节点的下标为0的话，则对于每个结点i，其左孩子下标为2*i+1；其右孩子下标为2*i+2。

堆有两个基本操作：插入元素和删除元素。

 

插入： 将待插入元素添加到数组末尾，然后依次向上比较，如果该结点大于父亲节点，就与父节点交换，这样就构成局部大根堆，一直到该结点小于父节点位置，便完成了结点的插入操作。

 

删除： 要删除某元素，可以将数组的大小缩小一，然后用数组的末尾元素代替待删除元素，然后将缩小后的数组重新调整为堆，便完成了结点的删除操作。

 

堆有一个重要的应用就是堆排序，下面介绍堆排序。

 

堆排序的思想很简单，仍然以大根堆为例。

 

将待排序区分为无序区和有序区，无序区在前，有序区在后。未排序前无序区为整个待排序区间，没有有序区。

 

排序的过程是，不断地将无序区构造成一个大根堆，这样无序区中的最大元素便被放置在了数组的最前面即根的位置，然后将无序区的第一个元素与最后一个元素交换，此动作将无序区的长度缩小一，将有序区的长度扩大一，即有序区前进一，无序区向前退一。然后将新的无序区（由于根节点的变化，此时很可能已经不是大根堆）重新调整为大根堆，等待下一次的交换。如此往复，不断地将无序区的最大元素添加到有序区的前面，同时缩小无序区，直到有序区占满待排序区为止。

 

这样，还剩下两个问题： 1.如何将一个交换后的无序区调整为大根堆； 2.如何在排序之前建立那个初始的大根堆。

 

而第二个问题是可以通过第一个问题的解决而解决的。这个稍后再谈，现在先看第一个问题。

 

由于进行元素交换前，无序区是一个大根堆，即左子树和右子树都是大根堆，所以根节点变化后左右子树仍然都是大根堆，无序区里的最大元素一定在新根节点、左右子树的根节点这三个结点里。先存储新的根节点的值以待后用。如果新的根结点最大，说明已经是大根堆，调整完毕；否则比较左右子树根节点，找出较大的，它是无序区现存的最大元素，应该作为新的大根堆中的根，所以将此节点上调至根节点位置，接下来就只需要调整此结点原来所在的子树为大根堆即可（因为大根堆对左右子树之间元素的大小关系没有要求！）。

 

这是一个迭代的过程，当某一个需要调整的子树调整前就已经是大根堆（待调整的根节点比左右子树根节点都大）时，或者下标已经超出无序区范围时，迭代过程结束，无序区已经调整为大根堆。

 

这就是调整一个左右子树都为大根堆的完全二叉树为大根堆的过程。

 

那么如何利用此过程建立初始大根堆呢？ 若数组下标范围为0~n，考虑到单独一个元素是大根堆，则从下标[n/2]开始的元素均为大根堆。于是只要从[n/2]-1开始，向前依次构造大根堆，这样就能保证，构造到某个节点时，它的左右子树都已经是大根堆（这就可以调用我们上面讨论的调整为大根堆的方法了）。一直到下标为0的结点，就完成了初始大根堆的建立。 堆排序用到的函数有两个：1个将左右子树都为大根堆的完全二叉树调整为大根堆的调整函数；1个反复调用此调整函数来进行排序的排序函数。

 

下面给出代码，根据调整时被调整结点的行为，将调整函数称为渗透（Sift）函数。

 

#include <iostream>

using namespace std;

template<class T>
void Sift(T* heap,int start,int end)	//start和end标示无序区
{
T temp = heap[start];	//记录
int parent = start;
int child = 2*start+1;
while (child<=end)
{
if(child<end&&heap[child]<heap[child+1])
child++;
if(heap[child]>temp)
{
heap[parent]=heap[child];
parent = child;
child = 2*child+1;
continue;
}
else
break;
}
heap[parent] = temp;
}

template <class T>
void MakeHeap(T* heap,int Size)
{
int end;
for(int start = Size/2-1;start>=0;start--)
Sift(heap,start,Size-1);
}

template <class T>
void HeapSort(T* heap,int Size)
{
MakeHeap(heap,Size);
T temp;
for (int i = Size-1;i >= 0;i--)
{
temp = heap[i];
heap[i] = heap[0];
heap[0] = temp;
Sift(heap,0,i-1);
}
for (int i = 0;i < Size;i++)
{
cout<<heap[i]<<endl;
}
}

int main()
{
int num[10] = {1,4,3,8,9,0,2,7,5,6};
HeapSort<int>(num,10);
}

 

 

本质上，堆排序就是选择排序，每次选择当前无序区最大的放入有序区。

对于直接选择排序，选择的过程要进行遍历，一次选择过程的复杂度为O(n)。堆排序利用堆的性质和二叉树的结构使得每次选择的复杂度降低为O(logn)，从而有效地改进了选择排序。