答案_精确表达浮点数

分析与解法

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X[/i]=0.a[/i]1a[/i]2…an[/i]，要么为无限循环小数X[/i]=0.a[/i]1a[/i]2…an[/i]（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]），X[/i]表示式中的字母a[/i]1a[/i]2…an[/i]，b[/i]1b[/i]2…bm[/i]都是0~9的数字，括号部分（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X[/i]=0.a[/i]1a[/i]2…an[/i]来说，这个问题比较简单，X[/i]就等于（a[/i]1a[/i]2…an[/i]）/10n[/i]。
对于无限循环小数X[/i]=0.a[/i]1a[/i]2…an[/i]（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：
X[/i] = 0.a[/i]1a[/i]2…an[/i]（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）
10n[/i]* X[/i]= a[/i]1a[/i]2…an[/i].（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）
10n[/i]* X[/i]= a[/i]1a[/i]2…an[/i]+0.（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）
X[/i] =（a[/i]1a[/i]2…an[/i]+0.（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]））/10n[/i]
对于整数部分a[/i]1a[/i]2…an[/i]，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：
令Y[/i]=0. b[/i]1b[/i]2…bm[/i]，那么
10m[/i] [/i]*Y[/i]=b[/i]1b[/i]2…bm[/i].（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）
10m[/i] [/i]*Y[/i]=b[/i]1b[/i]2…bm[/i]+0.（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]）
10m[/i] [/i]*Y[/i]-Y[/i]=b[/i]1b[/i]2…bm[/i]
Y[/i]= b[/i]1b[/i]2…bm [/i]/（10m[/i]-1）
将Y[/i]代入前面的X[/i]的等式可得：
X[/i] =（a[/i]1a[/i]2…an[/i]+Y[/i]）/10n[/i]
=（a[/i]1a[/i]2…an[/i]+ b[/i]1b[/i]2…bm[/i]/（10m[/i]-1））/10n[/i]
=（（a[/i]1a[/i]2…an[/i]）*（10m[/i]-1）+ [/i]（b[/i]1b[/i]2…bm[/i]））/（（10m[/i]-1）*10n[/i]）
至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A[/i]/B[/i]，可以简化为（A[/i] /Gcd（A[/i], B[/i]））/（B[/i] /Gcd（A[/i], B[/i]）），其中Gcd函数为求A[/i]和B[/i]的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。
综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：
0.3（33）
=（3 *（102-1）+ 33）/（（102-1）*10）
=（3*99+33）/990
= 1 / 3

对于小数0. 285714（285714），我们也可以算出：
0. 285714（285714）
= （285714 *（106-1） + 285714） / （（106-1）*106）
= （285714*999999 +285714） / 999999000000
= 285714 / 999999
= 2/7

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