【编程之美】2.6精确表达浮点数

【问题描述】：

在计算机中，使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果，最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如：

0.9 = 9/10

0.333（3）= 1/3（括号中的数字表示是循环节）

当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如：

0.333（3）= 1/3 = 3/9

给定一个有限小数或者无限循环小数，你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢？如果输入为循环小数，循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据，如0.3、0.30、0.3（000）、0.3333（3333）、……

解法：

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a1a2…an，要么为无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm），X表示式中的字母a1a2…an，b1b2…bm都是0~9的数字，括号部分（b1b2…bm）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a1a2…an来说，这个问题比较简单，X就等于（a1a2…an）/10n。

对于无限循环小数X=0.a1a2…an（b1b2…bm）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X= 0.a1a2…an（b1b2…bm）

10n* X= a1a2…an.（b1b2…bm）

10n* X= a1a2…an+0.（b1b2…bm）

X =（a1a2…an+0.（b1b2…bm））/10n

对于整数部分a1a2…an，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：

令Y=0. b1b2…bm，那么

10m *Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）

10m *Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）

10m *Y-Y=b1b2…bm

Y= b1b2…bm/（10m-1）

将Y代入前面的X的等式可得：

X=（a1a2…an+Y）/10n

=（a1a2…an+ b1b2…bm/（10m-1））/10n

=（（a1a2…an）*（10m-1）+（b1b2…bm））/（（10m-1）*10n）

至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化为（A/Gcd（A,B））/（B/Gcd（A,B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3 *（102-1）+
33）/（（102-1）*10）

=（3*99+33）/990

= 1 / 3

对于小数0. 285714（285714），我们也可以算出：

0. 285714（285714）

= （285714 *（106-1）+
285714）/ （（106-1）*106）

= （285714*999999 +285714）/ 999999000000

= 285714 / 999999

= 2/7

以下给出代码，简单实现：

void Cal(char* str)
{
char *p=str;
char *q=str,*q1=str;//q和q1分别存储(和)的指针
while(*p!='\0')
{
if(*p=='(')
{
q=p;
}
if(*p==')')
{
q1=p;
}
p++;
}
if(q==q1)
{
cout<<"有限小数"<<endl;
p=str+2;
char *t=(char*)malloc(sizeof(char)*(strlen(str)-1));
memset(t,0,sizeof(char)*(strlen(str)-1));
int i=0;
while(i<strlen(str)-1)
{
*(t+i++)=*p++;
}
cout<<atoi(t)<<"/"<<pow((float)10,(float)i)<<endl;
delete t;
return;
}
else//有循环小数
{
int len1=q1-q-1;
int len2=q-str-2;
char *str1=(char*)malloc(sizeof(char)*(len1+1));//循环小数
char *str2=(char*)malloc(sizeof(char)*(len2+1));//非循环小数
memset(str1,0,len1+1);
memset(str2,0,len2+1);
int i=0;
while(i<len1)
{
*(str1+i)=*(q+i+1);
i++;
}
i=0;
while(i<len2)
{
*(str2+i)=*(str+2+i++);
}
int t1=atoi(str1);//循环小数
int t2=atoi(str2);//非循环小数
int m=len1;
int n=len2;
cout<<t1+t2*(pow((float)10,(float)m)-1)<<"/"<<((pow((float)10,(float)m)-1)*pow((float)10,(float)n))<<endl;
delete str1;
delete str2;
}
}

int main()
{
char str[]="0.333(3)";
Cal(str);
return 0;
}

为了更完善，分两种情况：

1、对于小数的情况，不用定义数组形式：

#include <iostream>

using namespace std;

long long gcd(long long a, long long b)
{
if (a < b)
{
long long tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
int i, k=0;
while (b!=0)
{
if ((a&1) == 0)
{
if ((b&1) == 0)
{
// a,b均是偶数，f(a,b)=2*f(a>>1,b>>1)
a >>= 1;
b >>= 1;
k++;
}
else
// a为偶数，b为奇数，f(a,b)=f(a>>1,b)
a >>= 1;
}
else
{
if ((b&1) == 0)
// a为奇数，b为偶数，f(a,b)=f(a,b>>1)
b >>= 1;
else
// a,b均是奇数，f(a,b)=f(a-b,b)
a = a-b;
}
if (a < b)
{
long long tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
}
return a << k;
}

int main()
{
long long a=0, b=0, c=0;
// 整数部分c，非循环小数a，循环小数b
scanf("%d.%d(%d)",&c, &a, &b);
if (a==0 && b==0)
cout << c;
else
{
// 分子up，分母down
long long up = c;
long long down = 1;
long long ta = a;
while (ta)
{
down *= 10;
ta /= 10;
}
up = c*down+a;
if (b!=0)
{
long long wb = 1;
long long tb = b;
while (tb)
{
wb *= 10;
tb /= 10;
}
up = up*(wb-1)+b;
down = down*(wb-1);
}
long long fac = gcd(up, down);
cout << up/fac << "/" << down/fac << endl;
}
}

2、用于大整数，定义了大整数类型，以及对应的加减乘除、比较移位运算

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

// 大整数类型
#define MAXLEN 1000
struct HP {int len, s[MAXLEN];};

void PrintHP(HP x)
{
for (int i=x.len; i>=1; i--)
cout << x.s[i];
}

// 字符串转大整数
void Str2HP(const char *s, HP &x)
{
x.len = strlen(s);
for (int i=1; i<=x.len; i++)
x.s[i] = s[x.len-i] - '0';
if (x.len == 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}

// 大整数的加法
void Plus(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i; c.s[1] = 0;
// 大整数a,b的加法操作和结果c的进位操作
for (i=1; i<=a.len || i<=b.len || c.s[i]; i++)
{
if (i <= a.len) c.s[i] += a.s[i];
if (i <= b.len) c.s[i] += b.s[i];
c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;
}
// 退出循环到原因是c.s[i]==0，所以取前一位
c.len = i-1;
if (c.len == 0) c.len = 1;
}

// 大整数的减法
void Subtract(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
for (i=1,j=0; i<=a.len; i++)
{
// j表示是否要对高位进行借位
c.s[i] = a.s[i] - j;
if (i <= b.len) c.s[i] -= b.s[i];
if (c.s[i] < 0)
{
// 向高位借位，补10
j = 1;
c.s[i] += 10;
}
else j = 0;
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && !c.s[c.len]) c.len--;
}

// 大整数的比较
int HPCompare(const HP &x, const HP &y)
{
if (x.len > y.len) return 1;
if (x.len < y.len) return -1;
int i = x.len;
while (i>1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;
return x.s[i] - y.s[i];
}

// 大整数的乘法
void Multi(const HP a, const HP b, HP &c)
{
int i, j;
// 对乘法结果赋初值，以方便之后的+=运算
c.len = a.len + b.len;
for (i=1; i<=c.len; i++) c.s[i] = 0;
for (i=1; i<=a.len; i++)
for (j=1; j<=b.len; j++)
c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];
// 运算结果进位
for (i=1; i<c.len; i++) {c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;}
// 最高位继续进位
while (c.s[i]) {c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; i++;}
// 确保最高位不为0
while (i>1 && !c.s[i]) i--;
c.len = i;
}

// 大整数的除法
void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d)
{
int i, j;
// 用余数d存被除数a的前i位数据，用来多次减去除数b，以得到商c
d.len = 1; d.s[1] = 0;
for (i=a.len; i>0; i--)
{
if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0))
{
// i没移一位，余数d也移位
for (j=d.len; j>0; j--)
d.s[j+1] = d.s[j];
d.len++;
}
d.s[1] = a.s[i];
c.s[i] = 0;
// 余数d大于除数b时，才可以进行减操作
while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0)
{
Subtract(d, b, d);
c.s[i]++;
if (j == 0) break;
}
}
c.len = a.len;
while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)
c.len--;
}
// 十进位右移
void RightShift(HP &x, int k)
{
for (int i=1; i<=x.len-k; i++)
x.s[i] = x.s[i+k];
x.len -= k;
if(x.len <= 0)
{
x.len = 1;
x.s[1] = 0;
}
}
// 十进位左移
void LeftShift(HP &x, int k)
{
int i;
for (i=x.len; i>=1; i--)
x.s[i+k] = x.s[i];
for (i=k; i>=1; i--)
x.s[i] = 0;
x.len += k;
}
// 求大整数的最大公约数
void GCD(HP a, HP b, HP &c)
{
if (b.len == 1 && b.s[1] == 0)
{
c.len = a.len;
memcpy(c.s, a.s, (a.len+1)*sizeof(int));
}
else
{
HP m, n;
Divide(a, b, m, n);
GCD(b, n, c);
}
}

int main()
{
string str;
string strc, stra, strb;
cin >> str;
int posc = str.find('.');
int posa = str.find('(');
int posb = str.find(')');
strc = str.substr(0, posc);
if (posc < 0)
cout << strc;
else
{
HP a, b, c;
HP tmp; tmp.len = 1; tmp.s[1] = 1;
// 整数部分
Str2HP(strc.c_str(), c);
stra = str.substr(posc+1, posa-posc-1);
// 非循环部分
Str2HP(stra.c_str(), a);
// up分子，down分母
HP up = c, down = tmp;
// 乘以10^|a|
LeftShift(down, stra.size());
LeftShift(up, stra.size());
Plus(up, a, up);
if (posa >= 0)
{
strb = str.substr(posa+1, posb-posa-1);
// 循环部分
Str2HP(strb.c_str(), b);
HP m = tmp;
LeftShift(m, strb.size());
Subtract(m, tmp, m);
// 乘以10^(|b|-1)
Multi(up, m, up);
Plus(up, b, up);
Multi(down, m, down);
}
// 求分子分母的最大公约数
GCD(down, up, tmp);
HP h;
Divide(down, tmp, down, h);
Divide(up, tmp, up, h);
PrintHP(up); cout << "/";
PrintHP(down); cout << endl;
}
}