关于Bellman-Ford的几点思考

关于Bellman-Ford的几点思考:
1.bellman-ford基本思想?
设s集合为，为与源点已经连接的点的集合，p为与源点不连通的集合。
开始时置s={源点}，p={剩下的点}；
每次操作枚举所有边把符合条件的边上的点，加入s，或者更新其dis值，直到s={所有点}；
2.为什么是做n-1次松弛操作
每次松弛操作至少加一个节点加入到s中，因此松弛操作的次数的上限是n-1。
3.为什么dis[a]+w<dis 就出现负回路
因为若在经过n-1次松弛操作后dis[a]+w<dis[b],dis[b]肯定在前面跟新为dis[a]+w;而现在出现了dis[a]+w<dis[b],要么dis[b]变大了，要么dis[a]变小了，而dis[b]变大是不可能的，并且w是常量，所以是dis[a]变小了。
用反证法证明：
假设不存在负回路，
而dis[a]变小了,只能存在这种情况:



---最后一次松弛操作是把d加进s，而u+v<x,dis[a]由dis[c]+x跟新为dis[c]+u+v;dis[a]刚好变小而，ab这条边在cd，da之前已经被枚举过，所以dis[b]没被跟新为dis[c]+u+v+w;所以出现了dis[a]+w<dis[b]这个情况.

然而经过n-1次松弛操作后,这种情况是不存在的。
因为在c加入s后，cd这条边满足条件（dis[c]+u<dis[d](dis[d]初始话为无穷)），d可以直接加入s中，
设c是第k次加入s中的，
若在第k次中，cd是在c已经加入s中后再枚举的，那么在第k次中，d被直接加入到s中，
若在第k次中，cd已经在c加入s中前已经枚举过，那么在第k+1次中，d被加入到s中；

所以若d是第n-1次松弛操作的时候加进s的，那么c肯定最早是在第n-2次加入s的。





设c是通过Cic这条边连到s的，ci是通过ci-1连到s的，ci-2...
若c是最早是在第n-2次加入的，那么ci最早是在第n-3次加入的，那么ci-2.....
C1最早是在第0次加入的（c1是源点），所以i》=n-3+1，即i>=n-2；而节点总共只有n个，除去c和d，那么a和b肯定是c1到ci中的某两个点，那么c肯定和a，b构成了回路，
而a在c的前面，
若a到c经过的边中没有负边，那么dis[c]>=dis[a],而a又通过c，dis[a]被更新为dis[c]+x,即dis[c]+x<dis[a],推出x<0,所以在a，c所在回路中出现了负边，即出现了负回路，与假设矛盾。
若a到c经过的边中出现了负边，那么也出现了负回路，与假设矛盾。


Bellman-ford算法代码：
Dis[i]为i到源点的距离，edges为结构体，edges.a到edges.b的权值是edges.w。
[b]int relax(int u,int v,int w)
{
if (dis[u]+w<dis[v])
{
dis[v]:=dis[u]+w;
pre[v]:=u;
}
}
bool bellman_ford()
{
int i,j;
for(i=1;i<=n-1;i++)
for(j=1;j<=e;j++)
relax(edges[j].a,edges[j].b,edges[j].w);
for(i=1;i<=e;i++)
if (dis[edges[i].a]+w<dis[edges[i].b]) return false;//出现负回路
return true;
}