证明Fibonacci数列与黄金分割的关系

某CSDN网友问：

1,1,2,5,8,13.....请问这个数列第30项是什么? 用java实现

玄机逸士的回答：

楼主的题目是不是少了一个数字3？否则没有规律可言，无法得出第30项数据，正确的题目应该是：
1,1,2,3,5,8,13.....请问这个数列第30项是什么? 用java实现

很明显这是一个Fibonacci数列，代码如下：
package com.pnft.fibonacci;

public class Fibonacci
{
static int calculateFibonacci(int n)
{
if(n < 3)
{
return 1;
}
else
{
return calculateFibonacci(n-1) + calculateFibonacci(n-2);
}
}
public static void main(String[] args)
{
System.out.println(calculateFibonacci(30));
}
}

运行程序得到的结果为：
832040
这就是第30项的数据。

Fibonacci数列本质上就是：一个数字等于它前面两项的和，比如2 = 1 + 1； 3 = 1 + 2；5 = 2 + 3；...
关于Fibonacci数列有很多很有意思的事情，其中一个就是当n->无穷大时，F(n-1)/F(n) = 0.618... 黄金分割。

这是可以证明的(此结论网上颇为多见，然鲜有证明者)：
假定Fibonacci数列有n项 F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6)...,F(n-2),F(n-1),F(n)
根据Fibonacci数列的定义，我们可以知道：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)                   (0)
现在我们来算算F(n) / F(n-1)，将(0)式代入：

很显然，当n->无穷大的时候，

(1)

令

，那么

那么当n->无穷大的时候，(1)式将变成：

(2)
解(2)，得到：



Fibonacci两项相比，不可能出现负数，因此负数解没有意义，舍去之。那么最后得到

，即

得证！