股市的趋势分析【数学建模】

股市的趋势分析
[问题描述]
阅读数学建模6.4节
时间序列分析，下载股市的指数的数据，回答以下问题

1）给出股市指数的非随机波动和随机波动；

2）对股市的指数的基本趋势进行预测、给出预测区间和风险进行分析评价；

3）根据你的研究结果写一份有关股市评价的股评文章。
[问题分析]
本题针对去年股市指数数据，提出对我国股市的趋势，风险进行分析，并对价格等指标进行估计的问题。

对我国股市走势的风险进行定量分析，可以考虑采取时间序列的简单指数平滑法对股市的下一阶段的走势进行分析及预测。；求解价格，波动率等指标的估计区间时，采用了两种方法,即最小二乘曲线拟和法，线性指数平滑法分别对收盘价的价格未来时间段区间的估计和预测；对于分析我国股市风险时，可以以收盘价作为评价指标，通过所给样本的数据根据常用的股市风险评价方法var（value
at risk）方法，求出每天的var值，对该段时间内的风险进行定量的分析。
[模型建立]
建立简单指数平滑法模型：

  

 
 
  。

由：
                    

可见，可以通过此法对股市进行预测。
[模型求解]：
从以上结果可以看出，无论平滑常数
取怎样的值，其随时间的变化呈现为一条衰减的指数函数曲线，即随时间向过去的推移。同时，平滑常数
的选择也是很重要的，它将直接影响过去各期数据对预测值的作用。当平滑常数
接近1时，各期历史数据的作用将迅速衰减，近期数据作用最大。当时间序列变化剧烈时，平滑常数
可选大些；当时间序列变化平缓时，平滑常数
可选小些。利用统计软件可得到结果：
=0.8

所以  
 
[预测区间模型]
现假设某天的收盘价g只与股市的趋势因素q，周期对价格的影响因素T有关，这两个因素的波动情况对收盘价格起的至关重要的作用。可写得：
股票收盘价=股市的趋势因素*周期对价格的影响因素，既
g(t)=q(t)*T
现在先考虑股市的趋势因素q(t)，假设q(t)为一元线性模型，只跟自上市以来的交易日个数有关，可写出表达式为q(t)=k1*t+k2。
1）用最小二乘曲线拟和法对趋势因素q(t)=k1*t+k2
参数进行估计。
设一组数据t(i)，y(i),i=1,2,……N,且已知这组数据满足某一函数原型
z(t)=f(a,x),其中a待定系数向量，则最小二乘曲线拟合的目标就是求出这一组待定系数的值，使得目标函数
J=min
=min 为最小。
计算可得：
k1=18,k2= 8240.4即有：
q(t)=18*t+8240.4。
[风险分析模型]
我们将VaR
方法（var方法的基本内容和计算方法见附录（三））引入我国股票市场投资风险分析。考虑深发展A的收盘价格的变化,从而计算整个股市的大盘风险值。
假定综合指数在时间t
的取值是Pt
,时间间隔为1
天,令rt
= ln ( Pt
) - ln
( Pt - 1)
= ln (1 +
Rt
) ,
将上式在Rt
= 0
点展开
,取一阶近似,有
　　rt≈
Rt
  (17)
因为rt
有更好的统计性质
, 所以我们以rt代替收益率Rt
。同RiskMet rics
一样,计算
VaR
的方法采用方差协方差方法,当rt
- 1已知时,假定rt
服从独立异方差的正态分布,这里考虑了
方差的时变性。
　　rt
= ln ( Pt)
- ln ( Pt - 1)
～ N (0
,σt
)
  (18)
由(11)
式（见附录3）知V
aRt = -
ασt
W
其中,α为标准正态分布上对应某一置信水平的分位点,σt
为rt
分布的标准差。
方差σt估计方法：
我们可以考虑用rt的历史观测值来估计σt。一种估计标准差的方法叫做简单移动平均法（SMA：simple
moving average）,公式形式如下：

该公式用长度为T的历史数据对σt进行估计，特点是对每个观测值给予相等的权重1/T，估计值显著的依赖于T的选取。对SMA改进的方法叫做指数加权移动平均法（EWMA：exponentially
weighted moving average），公式如下：

该方法的特点是对每个观测值给予不同的权重，离估计值越近的数据权重越大，越远的数据权重越小，上式中λ（0<λ<1）叫做衰减因子。其取值大小决定了相关样本的权重和有效样本的长度。
用 法估计收益的标准差还有一个显著的特点,
就是可以将方差的估计公式写成迭代形式,这将有利于应用计算机处理庞大的数据。为此,
我们显式的记 为已知为已知t时刻以前(包括 t时刻)的收益。估计t+ 1时刻的收益方差,
由 EWMA式进行以下推导：

故此我们得到迭代形式：

 
为了计算简便，这里对方差的估计我们采用周期为20
天( T
= 20)
的移动平均法即：
　　

根据(11)
（见附录） 式,考虑1
天的持有期,令W
= 1
,对应的VaR
值为风险值占整个投资额的比例。对置信水平的不同取值c ,对应的分位点为α,我们计算相应的风险值VaR。
[股评]
  
根据以上模型所得的结论，我们可知股市指数是不可预测的，具有不确定性。犹如一个醉鬼迈出了第一步，却无法知道他下一步到底在何方.
  
大量的统计数据证明，股票价格具有随机性和不可预测性。它受经济、政治、社会因素和股票自身供求关系的影响而波动，而这些因素不断重演，此消彼长。例如经济复苏、政策利好，股票价格就一路上涨。涨完还会有下跌，但跌完又会再上涨。即使是短线，支配价格波动也离不开上述因素，投资者如果能够预测哪些因素支配着价格波动，就可以预知未来股价的波动范围及其走势。

股票价格随着时间随机波动，即股票价格有易变性，这种易变性，对股票投资具有特殊重要的意义，因为股票的价值取决于股票价格易变性的风险，就是波动风险。价格波动可以随着时间发生很大变化，一个价格大的波动期后，总是有一个波动很小的平静期。股票价格大部分时间都在一个随机趋势中。
股票价格的向上波动或向下波动或横向波动是受外界不确定因素决定的。因此，没有永远的上涨，而是涨一段时间后就有一定幅度的下跌，上涨的这一阶段的形态就是上涨趋势。下跌也是同样。
客观地说，只要把握了股票价格波动的趋势，买什么股票并不重要。但是，价格波动的趋势必须通过技术分析来实现。因此，作为市场的参与者，必须明白，不管多么低的位置，不要主观地认为低，一定要用市场的表现来说话。当不知道大盘调整何时结束、以何种方式结束的时候，不必去做某种可能性的判断。当新的向上趋势到来之前，市场还处于酝酿新的原动力的初期，尽可以耐心等待。在整个市场资金对下一轮运作周期、流动方向、运行方式等还没有达成理性共识的时候，等待和观望无疑是最好的选择。
  
 综上所述，股票价格向上波动，上升趋势形成初期是最好的股票投资买入机会。股票价格向下波动，下跌趋势形成初期是最好的股票卖出机会。下跌趋势没有转势前和横向趋势没有向上突破前，股票投资持币观望是最好的选择。注意，如果你没有很好的金融思想，建议还是不要摊股市这浑水。

 
[附录]
VaR的概念：VaR(Value - at - Risk)
叫做风险值或在险值,意为处在风险中的价值。VaR
定义为:在一定的
持有期,一定的置信水平下可能的最大损失。VaR
要回答这样的问题:在给定时期,有x
%的可能
性,最大的损失是多少?
严格的定义如下:
设R
是描述组合收益的随机变量, f ( R)
是其概率密度函数,置信水平是c ,那么收益小于R
*
的概率为:

VaR
有绝对风险值和相对风险值之分,绝对风险值是指相对于当前头寸的最大可能损失,
　　VaR(绝对)
= - R *
W (2)
相对VaR
是指相对于收益期望值的最大可能损失
　　VaR(相对)
= - R *
W +μW (3)
其中,μ是收益的期望值,
W 是头寸大小。实践中通常使用相对VaR。
一个特定的VaR
值是相对于三个因素而言的:1)
持有期;2)
置信水平;3)
基础货币。持有期是
风险所在的时间区间,如一天或一个月。置信水平表示承担风险的主体对风险的偏好程度,一般取90
%～9919 %。风险值(VaR)
总是用某个国家的货币作为基准表示的,所以VaR
的值依赖于基础货币的选取。因此,VaR
对风险的度量具有本质的进步,开创了全新的风险管理阶段,它在风险度量的基础上,其技术可用于全面风险管理,包括机构的设置、部门的管理、绩效评估、报酬的分配以及资本配置、金融监管等等。
VaR的计算方法
VaR
的计算有多种方法,常见的有历史模拟法，蒙特卡罗模拟法，方差-协方差法，分别适用于不同的市场条件、数据水平、精度要求等。在这里我们采用方差-协方差方法。
方差协方差方法
设{ Pt}
为某金融工具的价格的时间序列, Rt
为收益,
在金融市场价格的随机游动假说下, Pt
服从独立的正态分布。由以下收益( Rt
) 的定义
　　Rt
= ( Pt
- Pt
- 1) / Pt
- 1 (4)
可知,当Pt
- 1已知时,收益序列{
Rt}
服从独立的正态分布,设
　　 (5)
令Zt
= ( Rt
- μ) /σt
,则有Zt
服从标准正态分布,
　Zt～
N (0
,1) (6)
由(1)
式对风险值的定义,得到下式
　　Prob[ Rt
< R
* ]
= Prob[ Zt
< ( R
* -
μ) /σt
] =
c (7)
对给定的置信水平c ,对应的标准正态分布的分位点为α(由标准正态分布表查表可得)
,所以有
　　( R
* -
μ) /σt
=α
(8)
简单推导可得
　　R
* =μ+ασt
 (9)
代入(2)
式和(3)
式VaR
的定义,我们得到以下结果:
　　VaR(绝对)
= - μW
- ασt
W (10)
　　VaR(相对)
= - ασt
W (11)
正如上面讲到的,实践中经常用到相对VaR
,亦即采用(11)
式计算时刻t
的风险值。以下我们谈
到VaR
时均指相对VaR。
当资产组合包括两种以上资产时,我们用向量形式来表示。假定组合中有n
种资产,每种资
产的收益为Ri
( t) ( i = 1
, ⋯Rn
( t ) ) T
,并假定R ( t )
服从多元
正态分布,记向量F
= (ρi , j)
n *
n为n
种资产的相关系数矩阵,ω=
(ω1ω2
⋯ωn
= 1 ,另记投资组合的收益为Rp
( t) 则有
　　Rp
( t) =ω1
R1
( t) +ω2
R2
( t) +
<FONT style="FONT-SIZE: 12pt" face=""">⋯+ωnRn
( t) (12)
我们已知正态分布的线性组合仍然是正态分布的,所以Rp
( t ) 服从正态分布,按照上面的推导,其
风险值V aRp
为
　　V aRp
= - ασpW
  (13)
这里我们假定对数价格的变化服从独立异方差的正态分布:
　　
（16）
其中, Pt
表示某种金融工具在时间t
的价格,时间间隔为1
天。当已知Pt
- 1时,假定rt
的分布是
均值为0
,方差为σt
的正态分布。这里重要的是考虑了方差的时变性。
【参考文献】
2007年1月至12月份上证指数

时间	1月	2月	3月	4月	5月	6月
指数	2675.47	2786.34	2881.07	3183.98	3841.27	4109.65
时间	7月	8月	9月	10月	11月	12月
指数	4471.03	5218.83	5552.30	5954.77	4871.78	5261.56