大家都知道π=3.1415926……无穷多位, 历史上很多人都在计算这个数, 一直认为是一个非常复杂的问题。现在有了电脑, 这个问题就简单了。
2007-04-06 08:04
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大家都知道π=3.1415926……无穷多位, 历史上很多人都在计算这个数, 一直认为是一个非常复杂的问题。现在有了电脑, 这个问题就简单了。
电脑可以利用级数计算出很多高精度的值, 有关级数的问题请参考《高等数学》,以下是比较有名的有关π的级数:
其中有些计算起来很复杂, 我们可以选用第三个, 比较简单, 并且收敛的非常快。
因为计算π值, 而这个公式是计算π/2的, 我们把它变形:
π = 2 + 2/3 + 2/3*2/5 + 2/3*2/5*3/7 + ...
对于级数, 我们先做个简单测试, 暂时不要求精度:
用 C++ Builder 新建一个工程, 在 Form 上放一个 Memo1 和 一个 Button1, 在 Button1 的 OnClick 事件写:
按Button1在Memo1显示出执行结果:
Pi=3.1415926535898
这个程序太简单了, 而且 double 的精度很低, 只能计算到小数点后 10 几位。
把上面的程序改造一下, 让它精确到小数点后面 1000 位再测试一下:
在 Form 上再放一个按钮 Button2, 在这个按钮的 OnClick 事件写:
按 Button2 执行结果:
Pi=03.
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这下心理有底了, 是不是改变数组大小就可以计算更多位数呢?答案是肯定的。
如果把定义数组大小和显示位数改为:
const ARRSIZE=10100, DISPCNT=10000; //定义数组大小,显示位数
执行结果精度可达 10000 位:
Pi=03.
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... 限于篇幅, 这里就省略了, 还是留给你自己来算吧!
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提高精度的原理:
以上程序的原理是利用数组把计算结果保存起来, 其中数组每一项保存10进制数的一位,
小数点定位在数组第1个数和第二个数之间, 即小数点前面2位整数, 其余都是小数位。
利用电脑模拟四则运算的笔算方法来实现高精度的数据计算,没想到最原始的方法竟然是精度最高的。
电脑可以利用级数计算出很多高精度的值, 有关级数的问题请参考《高等数学》,以下是比较有名的有关π的级数:
其中有些计算起来很复杂, 我们可以选用第三个, 比较简单, 并且收敛的非常快。
因为计算π值, 而这个公式是计算π/2的, 我们把它变形:
π = 2 + 2/3 + 2/3*2/5 + 2/3*2/5*3/7 + ...
对于级数, 我们先做个简单测试, 暂时不要求精度:
用 C++ Builder 新建一个工程, 在 Form 上放一个 Memo1 和 一个 Button1, 在 Button1 的 OnClick 事件写:
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender) { double x=2, z=2; int a=1, b=3; while(z>1e-15) { z = z*a/b; x += z; a++; b+=2; } Memo1->Text = AnsiString().sprintf("Pi=%.13f", x); } |
Pi=3.1415926535898
这个程序太简单了, 而且 double 的精度很低, 只能计算到小数点后 10 几位。
把上面的程序改造一下, 让它精确到小数点后面 1000 位再测试一下:
在 Form 上再放一个按钮 Button2, 在这个按钮的 OnClick 事件写:
void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender) { const ARRSIZE=1010, DISPCNT=1000; //定义数组大小,显示位数 char x[ARRSIZE], z[ARRSIZE]; //x[0] x[1] . x[2] x[3] x[4] .... x[ARRSIZE-1] int a=1, b=3, c, d, Run=1, Cnt=0; memset(x,0,ARRSIZE); memset(z,0,ARRSIZE); x[1] = 2; z[1] = 2; while(Run && (++Cnt<200000000)) { //z*=a; d = 0; for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--) { c = z[i]*a + d; z[i] = c % 10; d = c / 10; } //z/=b; d = 0; for(int i=0; i<ARRSIZE; i++) { c = z[i]+d*10; z[i] = c / b; d = c % b; } //x+=z; Run = 0; for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--) { c = x[i] + z[i]; x[i] = c%10; x[i-1] += c/10; Run |= z[i]; } a++; b+=2; } Memo1->Text = AnsiString().sprintf("计算了 %d 次/r/n",Cnt); Memo1->Text = Memo1->Text + AnsiString().sprintf("Pi=%d%d./r/n", x[0],x[1]); for(int i=0; i<DISPCNT; i++) { if(i && ((i%100)==0)) Memo1->Text = Memo1->Text + "/r/n"; Memo1->Text = Memo1->Text + (int)x[i+2]; } } |
Pi=03.
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这下心理有底了, 是不是改变数组大小就可以计算更多位数呢?答案是肯定的。
如果把定义数组大小和显示位数改为:
const ARRSIZE=10100, DISPCNT=10000; //定义数组大小,显示位数
执行结果精度可达 10000 位:
Pi=03.
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
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... 限于篇幅, 这里就省略了, 还是留给你自己来算吧!
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提高精度的原理:
以上程序的原理是利用数组把计算结果保存起来, 其中数组每一项保存10进制数的一位,
小数点定位在数组第1个数和第二个数之间, 即小数点前面2位整数, 其余都是小数位。
利用电脑模拟四则运算的笔算方法来实现高精度的数据计算,没想到最原始的方法竟然是精度最高的。
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